Сторони трикутнка 13,14,15 см. знайти: довжину від площини трикутника до центра кулі яка дотикається до всіх сторін трикутника. радіус 5 см

для решения нужна площадь треугольника. 

её можно тупо сосчитать по формуле герона, а можно и сообразить, что треугольник "составлен" из двух пифагоровых треугольников со сторонами (5,12,13) и (9,12,15), так, что катет 12 у них общий, а катеты 5 и 9 вместе составляют сторону 14 исходного треугольника.

то есть высота к стороне 14 равна 12.

итак, площадь треугольника s = 14*12/2 = 84;

полупериметр равен (13 + 14 + 15)/2 = 21;

поэтому радиус вписанной окружности равен r = 84/21 = 4;

сечение шара плоскостью треугольника как раз и дает нам круг, ограниченный вписанной окружностью. при этом радиус этой окружности r, расстояние d от центра до плоскости сечения (до плоскости треугольника) и радиус шара r связаны теоремой пифагора.

r^2 = r^2 + d^2;  

отсюда d = 3; (тут пифагорова тройка 3,4,5)

опишем вокруг пятиугольника окружность

построим треугольники, с вершиной в центре окружности

получим 5 равных равнобедренных треугольников с углом при вершине 360/5=72 градуса

тогда сумма углов при основании 180-72=108 градуса

сумма углов при основании будет равна внутреннему углу

треугольник асс1 - прямоугольный (сс1 - высота).

угол а + угол асо = 90 град

угол асо = 90-42=48 град