30 ! в остроугольном треугольнике авс из вершин а и с опущены высоты ap и cq на стороны bc и ab. а) докажите, что углы bpq и bac равны. б) известно, что площадь треугольника abc равна 96, площадь четырехугольника aqpc равна 72, а радиус окружности, описанной около треугольника abc, равен 16/√3. найдите pq.

А)  прямоугольные  δсqb  и δapb подобны по острому углу (угол в-общий) сq/ap=qb/pb=вс/ав откуда  qb/вс=рв/ав значит  δавс и  δрвq подобны по 2 пропорциональным сторонам (qb/вс=рв/ав) и углу между ними (угол в-общий). т.к. у подобных треугольников углы равны, то < bpq=< bac, ч.т.д. б) sавс=96,  sаqрс=72, значит  sрвq=sавс-sаqрс=96-72=24 отношение  площадей  2  подобных  треугольников  равно квадрату  коэффициента подобия:   sрвq/sавс=24/96=1/4 значит  qb/вс=рв/ав=pq/ac=1/2  из прямоугольного  δ  сqb  qb/вс=сos b, cos b=1/2, значит  < b=60° ра­ди­ус  r  окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка  abc  равен: r=ac/2sin b ac=2r*sin 60=  2*16/√3*√3/2=16 pq=ac/2=16/2=8

vконуса=πr²h/3=π*0.9²*4/3=1.08π

vцелиндра=πr²h=π*1.2²*h=1.08π

h=1.08π/1.44π=0.75 дм

вр -высота на ас

вр²=ав²-(ас/2)²=400-144=256

вр=16

кр²=вк²+вр²=144+256=400

кр=20 см  расстояние от к до ас