Отрезок mn параллелен основаниям ad и bc трапеции abcd и проходит через точку пересечения диагоналей. известно что mn= 1.6 и ad= 4. найти меньшее основание трапеции и расстояние между серединами диагоналей.

Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен  среднему гармоническому  длин оснований трапеции (формула буракова): mn=2*вс*ад/(вс+ад)  1,6=2вс*4/(вс+4) 1,6вс+6,4=8вс вс=1 отрезок  ке ,  соединяющий  середины  диагоналей , равен полуразности  оснований и лежит на средней линии: ке=(ад-вс)/2=(4-1)/2=1,5

пусть  abcd - данный квадрат

центральный угол квадрата равен 360\4=90

поэтому при повороте на 270 градусов вокруг центра (точки пересечения диагоналей)

точка a перейдет в точку d

точка b перейдет в точку a

точка c перейдет в точку b

точка d перейдет в точку c

то есть квадрат перейдет в самого себя, доказано.

 

решение: пусть abc – данный треугольник, ck – биссектриса внешнего угла bсd, ck || ab.

  ck – биссектриса внешнего угла bсd, значит угол bck=угол dck

ck || ab, по свойству параллельных прямых угол   cab=угол dck

по свойству внешнего угла внешний угол bcd=2*угол dck=угол cab+уголacb=

= угол dck+ уголacb, отсюда

уголacb= угол dck= угол cab

уголacb= угол cab, значит треугольник abc равнобедренный по свойству равнобедренного треугольника, причем ac=bc.

доказано.