Впрямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу в соотношении 1: 3. в каком отношении делит гипотенузу опущенная на нее высота?

Если h - высота из прямого угла, а b - острый угол треугольника, то отрезки, на которые эта высота делит гипотенузу равны h*tg(b) и h*ctg(b). значит, их отношение равно tg^2(b). но tg(b) - это отношение катетов, которое равно отношению длин отрезков, на которые биссектриса делит гипотенузу (по свойству биссектрисы). т.е. tg(b)=3. значит искомое отношение равно tg^2(b)=3^2=9. таким образом, высота делит гипотенузу в отношении 1: 9.

пусть аа₁ и вв₁ - высоты, вв₂ и сс₁ - биссектрисы.

1. рассмотрим δвна₁, < на₁в=90°.

< вна₁=180°-120°=60°

< нва₁=90°-60°=30° 

2. рассмотрим δвкс

< квс+< ксв=180°-130°=50°

3. < в+< с=2·50°=100°

< а=180°-100°=80°

4. рассмотрим δав₁в, < ав₁в=90°.

< в₁ва=90°-80°=10°

5. < авс=< нва₁+< в₁ва=30°+10°=40°

ответ. 40° 

1) ищем сумму 2 сторон подобного параллелограмма 1+2=3

теперь ищем коэффициент подобия 12: 3=4

теперь ищем стороны а=1*4=4см в=2*4=8 см

2) аналогично сумма=3+2=5   12: 5=2,4

стороны а=3*2,4=7,2   в=2*2,4=4,8