Докажите, что если каждое из двух чисел представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, то их произведение также можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.

Ответы

есть известная теорема ферма-эйлера, вот её формулировка:

нечётное простое число представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел тогда и только тогда, когда оно имеет вид

4k + 1 где k - нат. число.

пусть наши числа х и y. тогда по этой теореме

х = 4m + 1 , y = 4n + 1 (где n, m - нат. числа)

рассмотрим произведение чисел х и y

хy = (4m + 1)(4n + 1) = 16mn + 4m + 4n + 1 = 4*(4mn + m + n) + 1 =>

обозначив выражение 4mn + m + n чрез некое натуральное число q имеем

хy = 4q + 1

тогда по этой же теореме произведение хy представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел..

Спасибо

Ответ дал: Гость

sqrt(x^2-6x+6)+sqrt(2x-1)+x=9

sqrt(x^2-6x+6)+sqrt(2x-1)=9-x

возведем обе части равенства в квадрат

(x^2-6x+6)+2*sqrt(x^2-6x+6)(2x-1))+(2x-1)=(9-x)^2

2*sqrt(x^2-6x+6)(2x-1))+(x^2-4x+5)=81-18x+x^2

2*sqrt(x^2-6x+6)(2x-1))=76-14x

sqrt(x^2-6x+6)(2x-1))=38-7x

возведем еще раз в квадрат обе части

(x^2-6x+6)(2x-1)=(38-7x)^2

2x^3-12x^2-x^2+12x+6x-6=49x^2-532x+1444

x^3-31x^2+275x-725=0

x^3-(5x^2+26x^2)+(130x+145x)-725=0

(x^3--130x)+(145x-725)=0

x^2(x-5)-26x(x-5)+145(x-5)=0

(x-5)(x^2-26x+145)=0

1) x-5=0

x=5

2) x^2-26x+145=0

d=b^2-4ac=96

x1,2=(26±sqrt(96))/2

x1=13-sqrt(24)

x2=13+sqrt(24)

проверкой убеждаемся, что корни x1=13-sqrt(24) и x1=13+sqrt(24) - побочные

ответ: x=5

Ответ дал: Гость

в равнобедренном треугольнике высоты, проведенные к боковым сторонам равны, так как площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

а в равнобедренном тр-ке боковые стороны равныв. следовательно равны и высоты, проведенные к ним. что и требовалось доказать.