На столе у учителя стопка из 100 самостоятельных. Часть из них оценена на 5, остальные на 2 (оценка видна на листе). Учитель выбирает 40 работ и отдает старосте. Староста произвольным образом берет из них 10 и возвращает учителю. Из этих 10 учитель выбирает 4. Если все эти работы окажутся, написаны на 5, то учитель будет счастлив. При каком наибольшем числе двоек учитель наверняка сможет сделать себя счастливым?

Так как учитель сам выбирает работы, то пусть все, не выбранные изначально работы, будут оценены на 2. Таким образом, работ на 2 уже имеется 100-40=60 штук.

Рассмотрим 40 работ, которые выбрал учитель и передал старосте. Так как староста выбирает 10 работ произвольным образом, то среди любых 10 работ должны находиться хотя бы 4, написанные на 5. Значит, максимальное количество работ на 2, которые могут попасть в выбор старосты, равно 10-4=6, а значит максимальное количество работ на 2, которые вообще могут попасть к старосте, также равно 6.

Итак, наибольшее количество двоек складывается из 60 двоек среди невыбранных работ и 6 двоек среди работ у старосты.

Значит, наибольшее количество двоек равно 60+6=66.

ответ: 66

пусть a и b - стороны прямоугольника, тогда

2a+ab=p

s=ab

в нашем случае

2a+2b=30

ab=56

из первого уравнения

a=15-b

подставляем во второе уравнение

b(15-b)=56

b^2-15b+56=0

решая это уравнение, получаем

b=7 и b=8

при b=7         a=15-b=8

при b=8       a=15-b=7

стороны прямоугольника равны 7; 8; 7; 8

будет (x^2+1)(x+2)