долго думал)
 итак, первое уравнение определяет эллипс, а второе- гиперболу.
 следовательно, решений может быть либо 0, либо 2, либо 4.
 требуется преобразовать систему координат таким образом, чтобы уравнения приобрели более простой вид.
 воспользуемся стандартным алгоритмом  уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.
 a11*x^2+2*a12*x*y*+a22*y^2=a
 a11, a12, a22 - известные коэффициенты, в нашем случае a11=a22=1, a12=0.5.
 угол, на который нужно повернуть систему координат, чтобы убить член xy:  tg(2*alpha)=2*a12/(a11-a22)
 в знаменателе 0 =>  tg = бесконечность =>  2*alpha=90, alpha = 45.
 крутим ск на 45 градусов.
 из аналитической  известно, что выражения старых координат через новые: 
 x=x'*cos(alpha)-y'*sin(alpha)
 y=x'*sin(alpha)+y'cos(alpha)
   
 подставим в первое уравнение основной системы. получим
 x'^2+y'^2 = 2a/3                 это 
 во втором уравнении
 y' = (-a^(1/3))/(2*x')     это гипербола.
   
 теперь рассматриваем различные случаи значений а.
 а=0 =>  одно решение (0; 0)
 подставив y' из ур-я гиперболы в ур-е окружности, получим биквадратное уравнение относительно x'.
 x'^4 - (2a/3)*x'^2+4*a^(2/3) = 0
 исследуем его дискриминант.
 (1/9)*a^4-a^(2/3) > = 0 , откуда a^(10/3) > =9 =>  a> = 9^(3/10)
 ответ:  a=0 один корень
      а = 9^(3/10) два корня
    a >  9^ (3/10) четыре корня! 
Популярные вопросы