Докажите что 10^70 - 19 ^ 2 кратно 27

1 способ

[tex]10^{70}-19^2=100^{35}-19^2\equiv (-8)^{35}-(-8)^2 (mod \: 27)=-8^2(8^{33}+1)=-64((19*27-1)^{11}+1) \equiv -64((-1)^{11}+1) (mod \: 27)=-64(-1+1)=0[/tex]

а значит [tex]10^{70}-19^2[/tex] кратно 27.

использованы свойства сравнения чисел по модулю

2 способ

[tex]10^{70}-19^2=/tex]

теперь разобьем число на "тройки" цифр, начиная справа, и найдем сумму чисел, образуемых этими тройками:

т.к. [tex]639+999++999+9=648+999*22=27*24+27*37*22=27*(24+37*22)[/tex] делится на 27, то и исходное число делится на 27 (по признаку делимости)

х- учеников в 1 классе

54-х  учеников во 2 классе

х-3 осталось в 1 классе

54-х+3  стало во 2 класе

54-х+3          -      100%

х-3                      -      80%

перемножаем по свойству пропорции крайние и средние члены:

80(54-х+3)=100(х-3)

4560-80х=100х-300

4860=180х

х=4860: 180=27 (было учеников в 1 классе)

54-27=27 (было во 2 классе)

ответ: в каждом классе вначале было поровну учеников: по 27

решение: f(x)=(3-2x)^2

ищем производную функции:

f'(x)=2*(3-2х)*(-2)=-4*(3-2х)

f'(x)=4

-4*(3-2х)=4

3-2х=-1

3+1=2х

4=2х

х=2

ответ: при х=2