Найти интегральные кривые дифференциальных уравнений[tex]y(1+x^{2})y'+x(1+y^{2 })=0[/tex]

данное дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

[tex]\displaystyle \int\frac{ydy}{1+y^2}=-\int\frac{xdx}{1+x^2}~~~\rightarrow~~~\frac{1}{2}\int\frac{d(1+y^2)}{1+y^2}=-\frac{1}{2}\int\frac{d(1+x^2)}{1+x^2}\\ \\ \\ \ln(1+y^2)=-\ln(1+x^2)+\ln c~~~\rightarrow~~~\ln(1+y^2)=\ln\bigg(\frac{c}{1+x^2} \\ 1+y^2=\frac{c}{1+x^2}~~~~\rightarrow~~~ \boxed{y=\pm\sqrt{\frac{c}{1+x^2}-1}}[/tex]

пусть х км/ч скорость теплохода, тогда 36/(х+2) ч времени он плыл по течению, 36/(х-2) ч плыл против течения. из условия известно, что 30 минут он был на стоянке, тогда 8 - 0,5 = 7,5 ч теплоход был в пути. получаем:

36/(х+2) + 36/(х-2) =7,5

36(х-2) + 36(х+2) = 7,5(х² - 4)

7,5х² - 30 = 72 х

7,5х² - 72 х - 30 = 0

д = 5184 + 900 = 6084

х = (72 + 78)/(2 * 7,5) = 10

ответ. 10 км/ч скорость теплохода в стоячей воде.