Решите систему уравнений tgx*tgy=1/3 sinx*siny=1/4

{  tg x*tg y = 1/3 {  sin  x*sin y = 1/4 преобразуем  так {  sin  x/cos x*sin y/cos y = (sin x*sin  y)/(cos  x*cos  y)  = 1/3 {  sin  x*sin y = 1/4 отсюда {  sin  x*sin y = 1/4 {  cos  x*cos  y  =  ( sin  x*sin y ) /  (1/3)  = (1/4) / (1/3) = 3/4 при  этом  мы знаем, что sin^2 y + cos^2 y = 1; cos y = √(1  -  sin^2  y) sin  y = 1/(4sin x);   cos y = √(1 -  1/(16sin^2  x))  = √(16sin^2  x  -  1)  /  (4sin  x) подставляем  во  2 уравнение cos  x* √(16sin^2  x  -  1)  /  (4sin  x)  =  3/4 умножаем все на 4 tg  x* √(16sin^2  x  -  1)  =  3  √(16sin^2  x  -  1) = 3/tg x = 3ctg x 16sin^2 x = 1  +  9ctg^2 x есть  формула sin^2  a  =  1/(1  +  ctg^2  a) подставляем 16  /  (1 +  ctg^2  x) = 1  +  9ctg^2 x 16  =  (1 + 9ctg^2 x)(1 + ctg^2 x) замена ctg^2 x  =  t > = 0 при любом х 16  =  (1 +  9t)(1  +  t)  = 1 + 10t + 9t^2 9t^2  +  10t - 15 = 0 d/4  = 5^2  - 9(-15) = 25 + 135 = 160 = (4√10)^2 t1  =  (-5  -  4√10)/9  < 0 t2  =  (-5 +  4√10)/9  = ctg^2 x 1 + ctg^2 x = 1 + (4√10 -  5)/9 = (9  + 4√10  -  5)/9 = (4√10 +  4)/9 sin^2 x = 1/(1+ctg^2  x) = 9/(4(√10+1)) = 9(√10-1)/(4(10-1)) =  (√10-1)/4 sin x = √(√10  -  1) / 2 x  = (-1)^n*arcsin [ √(√10  -  1) / 2 ]  + pi*n sin  y = 1/(4sin x)  = 2/(4√(√10 - 1)) =  1/(2√(√10 - 1))  =  √(√10 - 1)/(2(√10 - 1)) y = (-1)^n*arcsin [ √(√10 - 1)/(2(√10 - 1)) ] + pi*n

12 км\ч - скорость первого велосипедиста

14 км\ч - скорость второго

пусть t - время затраченное на то чтобы добраться из пункта а в пункт в 1-му велосипедисту

тогда t-0,5 это время затраченное на путь 2-ым велосипедистом (так как второй выехал на пол часа (30 мин =  0,5 часа) позже )

расстояние это скорость умноженная на время , а расстояние они проехали одинаковое, составляем уравнение

12*t=14(t-0,5)

12*t-14*t=-7

-2*t=-7

t=3,5

тогда расстояние равно 12*3,5=42 км

 

пусть x (км/ч) - скорость по шоссе, тогда по автостраде - (x+20)   км/ч.

60/(x+20) +32/x = 1

60x+32(x+20) =x(x+20)

60x+32x+640=x*x+20x

x*x+20x-60x-32x-640=0

x*x-72x-640=0

d=5184+2560=7744=88*88

x=(72+88)/2=80 (км/ч) - скорость по шоссе

80+20=100 (км/ч) - скорость по автостраде

ответ: 80км/ч, 100км/ч