Известно, что tg a + tg b = 3, ctg a + ctg b = 4. найти tg (a+b).

1)  tg(a + b) = (tg a + tg b)/(1 - tg a tg b)= 3/(1 -  tg a tgb)  (*) 2) ctg a + ctg b =1/tg a + 1/tg b = (tg b + tg a)/tga tg b  ctg a + ctg b=(tg b + tg a)/tga tg b  4 = 3/ tg a  ·  tgb tg a·tg b = 3/4 3) вернёмся к (*) tg(a + b) = 3: (1 -   3/4) = 3·4/1 = 12

получается 3х^2-10x(в числителе)15 в знаменателе равно х+5 в числителе 6 в знаменателе.умножаем обе части уравнения крест-на-крест и получаем 18х^2-60x=15x+75

18x^2-75x-75=0

дальше находим корни уравнения через дискриминант .получается 5 и  -5/6

высота сд разделила треугольник на 2 подобных треугольника асд и свд, т.к. у них в каждом есть прямой угол. это угол адс и угол сдв. угол сад= углу дсв, как углы с соответственно перпендикулярными сторонами. треугольники подобны по двум углам. высота в прямоугольном треугольнике есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. это следует из пропорции сд: дв=ад: сд   сд*сд= ад*дв   =16*9=144 т.е. сд= 12 см.

2. в треугольниках смn и авс есть общий угол с. поверим пропорциональность сторон ас: см= 16: 12=4: 3   св: сn=12: 9=4: 3. отношения сторон равны, значит треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. по теореме о пропорциональных отрезках ав параллельна mn.