заметим для начала, что операция коммутативна
проверим, может ли при каких-то a и b из g получиться в результате операции число не из g (то есть -1, так как, очевидно, результат операции - действительное число)
[tex]ab+a+b=-1\\ab+a+b+1=+1)(b+1)= [ {{a=-1} \atop {b=-1}} \right.[/tex]
то есть посредством операции нельзя выйти из r\{-1}
найдем нейтральный элемент по этой операции:
[tex]a\cdot e=e\cdot a = a, \forall a\\a\cdot e=ae+a+e=a\\ae+e=0\\e(a+1)=0, \forall a\\e=0[/tex] - нейтральный элемент существует
проверим свойство ассоциативности:
[tex]\forall a,b,c: b)\cdot c=(ab+a+b)\cdot c=abc+ac+bc+ab+a+b+c\\a\cdot(b\cdot c)=a\cdot (bc+b+c)=abc+ab+ac+a+bc+b+c=(a\cdot b)\cdot c[/tex] - выполнено
посмотрим, у каждого ли есть обратный элемент. рассмотрим произвольный элемент a:
[tex]a\cdot t=t \cdot a = e\\at+a+t=+1)(t+1)=1\\a+1={1\over t+1}\\t={1\over a+1} - 1[/tex]
обратный существует (так как a не равен -1), а также [tex]{1\over a+1}\neq 0[/tex], то есть значение выражения для t не может быть -1, а отсюда t лежит в g.
таким образом, g - абелева группа.
Популярные вопросы