1. диагонали прямоугольника abcd пересекаются в точке о. найдите угол между диагоналями, если угол аbo 30 градусов?

треугольник соd равнобедренный, т.к. со и оd радиусы. расстояние от хорды до центра это перпендикуляр ок. для треугольника соd это высота, а следовательно и биссектриса, и медиана. тогда углы сок и dок по 45 градусов.   треугольник   сок прямоугольный, а значит третий угол оск тоже 45 град. следовательно   треуголь. сок   равнобедренный, следовательно ок=ос=13 см. ск=кd=13см, т.к. треуголь. сок и dок равны ( по двум углам и общей стороне ок ). сd=26 см.

нехай авс - даний рівнобедрений трикутник і ав=вс(за означенням рівнобедреного трикутника дві його сторони рівні), тоді

трикутник авс і трикутник сва рівні за трьома сторонами

справді сторони першого трикутника відповідно дорівнюють сторонам другого

ас=са

ав=вс (за умовою)

вс=ва (за умовою)

з рівності трикутників випливає рівність їхніх кутів відповідно

зокрема кут вас першого трикутника дорівнює куту вса другого трикутника,

але це кути при основі трикутника авс, що й треба було довести

пусть  оа = х1 ,  ов = х2 ,  ос = х3 ,  od = x4 , а угол между диагоналями α .

тогда  s aob = x1 * x2 * sin α / 2

                    s boc = x2 * x3 * sin (π - α) / 2 = x2 * x3 * sin α / 2

                    s cod = x3 * x4 * sin α / 2

                    s doa = x4 * x1 * sin (π - α) / 2 = x4 * x1 * sin α / 2

из полученных выражений видно, что  s aob * s cod = s boc * s doa

тогда  s doa = s aob * s cod / s boc = 10 * 60 / 20 = 30 ,

a  s abcd = s doa + s aob + s cod + s boc = 30 + 10 + 60 + 20 = 120

треугольник вос - равнобедренный (ос=ов=r), =>

угол сво = углу осв = 29 град

угол аос = угол сво + угол осв = 58 (град) (угол аос - внешний)