Стороны прямоугольного треугольника составляют арифметическую прогрессию. гипотенуза этого треугольника равна а. найти катеты.

Пусть d -разность в прогрессии a- гипотенуза (a-d) и (a-2d) -два катета по теореме пифагора a²=(a-d)²+(a-2d)² a²=a²-2ad+d²+a²-4ad+4d² 5d²-6ad+a²=0 d=36a²-20a²=16a² d1=(6a-4a)/10=0,2a d2=a проверим эти разности 1) d1=0,2a a- гипотенуза 0,8a - катет 0,6а  - катет (правило треугольника выполняется: сумма двух любых сторон больше третьей) 2) d2=a a- гипотенуза 0, и -а  - катеты, что не может быть

из вершины b трапеции опустим на основание ad высоту be и из вершины c - высоту ck.тогда, поскольку угол bcd=150 градусов, то угол   kcd=150-90=60 градусов.

 

из треугольника kcd имеем

kd=cd*sin(kcd)=12*√3/2=6√3

ck=cd*cos(kcd)=12*1/2=6

 

ck=be=6

 

из треугольника abe, имеем

tg(bae)=be/ae => ae=be/tg(bae)=6/tg(75)=6/tg(45+30)=6: (tg45+tg30)/(1-tg45*tg30)=6: (1+(1/√3))/(1-(1/√3))=6: (√3+1)/(√3-1)=6: ((√3+1)(√3+1))/((√3-1)(√3+1))=6: (3+1+2√3)/2=6/(2+√3)

 

ad=ae+ek+kd=6/(2+√3)+4+6√3=(6+8+4√3+12√3+18)/(2+√3)=(32+16√3)/(2+√3)=16

 

площадь трапеции равна

s=((a+b)/2)*h

для нашего случая, имеем

s=((4+16)/2)*6=60

 

площадь равна 60,вариант 2

рассмотрим треугольники aod и boc - они подобные, так как bc||ad и углы aod и boc - равны. 

площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих метрических мер, то есть

    saod/sboc=(ad)^2/(bc)^2

    32/8=100/(bc)^2=> (bc)^2=25 => bc=5 - меньшее основание трапеции