Доказать, что середины сторон треугольника, основания высот и середины отрезков, соединяющих точку н пересечения высот с вершинами треугольника, лежат на одной окружности, причем центр р круга с серединой он, где о - центр окружности, описанной вокруг заданного треугольника авс.

Пусть  a1,b1  и  c1- середины сторон  bc,ca  и  ab;   a2,b2  и  c2- основания высот;   a3,b3  и  c3- середины отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами. так как  a2c1  =  c1a  =  a1b1  и  a1a2||b1c1, точка  a2  лежит на описанной окружности треугольника  a1b1c1.  аналогично точки  b2  и  c2  лежат на описанной окружности треугольника  a1b1c1.рассмотрим теперь окружность  s   с диаметром  a1a3. так как  a1b3||cc2   и  a3b3||ab, то  < a1b3a3  =  90°, а значит, точка  b3   лежит на окружности  s. аналогично доказывается, что точки  c1,b1   и  c3   лежат на окружности  s. окружность  s   проходит через вершины треугольника  a1b1c1, поэтому она является его описанной окружностью. при гомотетии с центром  h  и коэффициентом  1/2 описанная окружность треугольника  abc  переходит в описанную окружность треугольника  a3b3c3, т.  е. в окружность девяти точек. значит, при этой гомотетии точка  o  переходит в центр окружности девяти точек.

Пусть а₁, в₁,с₁ — средины сторон вс, ас и ав; a₂, b₂, c₂ — основы высот; a₃, b₃, c₃ — средины отрезков ah,bh,ch. поскольку  ∠aa₂b =90°, то ас₁ = с₁а₂, как радиусы круга, описанной вокруг ава₂. следовательно с₁а₂ = а₁в₁. кроме того, а₁а₂ || в₁с₁. поэтому с₁а₂а₁в₁ - равносторонняя трапеция и точка а₂ лежит на окружности, описанном вокруг треугольника a₁b₁c₁.рассмотрим теперь круг с диаметром а₁а₃. поскольку а₁в₃ || сс₂, a₃b₃ || ab, то  ∠a₃b₃a₁=90°, следовательно точка в₃ лежит на окружности. поэтому точка а₁ лежит на окружности, описанном вокруг треугольника а₃в₃с₃. аналогично доводим что точки b₁ и с₁, c₃,b₂,c₂лежат на окружности.  следовательно, все 9 отмеченых точек находятся на данном круге. поскольку при гомотетии   с центром н и коэффициентом 1/2 треугольник авс переходит в треугольник а₃в₃с₃, то и центр о круга, описанной вокруг треугольника авс, перейдёт в центр р круга, описанной вокруг треугольника а₃в₃с₃. поэтому р - средина отрезка он. что и требовалось доказать.

пусть одна сторона прямоугольника х см

тогда вторая сторона 3х см

площадь прямоугольника х*3х, по  условию равна 75 см²

получим уравнение

х*3х=75

3х²=75

х²=75/3

х²=25

х₁=5,  х₂=-5(не удовлетворяет условию )

т.о. одна сторона 5 см, вторая сторона 3*5=15см

ответ 5 см и 15 см

Дан четырёхугольник? т.к.треугольники aod и cob подобные (ao: oc=od: ob), углы oda и obc, а также аоси соd равны (как накрест лежащие), значит прямые вс и аd параллельные. имеем две стороны четырёхугольника параллельны,а две другие не параллельны, из-за того, что иагонали вd и ас не равны. если бы они были параллельны. то мы имели бы прямоугольник, а в нём диагонали равны. значит, мы имеем четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. по определению мы имеем трапецию. чтд