Доказать, что середины сторон треугольника, основания высот и середины отрезков, соединяющих точку н пересечения высот с вершинами треугольника, лежат на одной окружности, причем центр р круга с серединой он, где о - центр окружности, описанной вокруг заданного треугольника авс.

Пусть  a1,b1  и  c1- середины сторон  bc,ca  и  ab;   a2,b2  и  c2- основания высот;   a3,b3  и  c3- середины отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами. так как  a2c1  =  c1a  =  a1b1  и  a1a2||b1c1, точка  a2  лежит на описанной окружности треугольника  a1b1c1.  аналогично точки  b2  и  c2  лежат на описанной окружности треугольника  a1b1c1.рассмотрим теперь окружность  s   с диаметром  a1a3. так как  a1b3||cc2   и  a3b3||ab, то  < a1b3a3  =  90°, а значит, точка  b3   лежит на окружности  s. аналогично доказывается, что точки  c1,b1   и  c3   лежат на окружности  s. окружность  s   проходит через вершины треугольника  a1b1c1, поэтому она является его описанной окружностью. при гомотетии с центром  h  и коэффициентом  1/2 описанная окружность треугольника  abc  переходит в описанную окружность треугольника  a3b3c3, т.  е. в окружность девяти точек. значит, при этой гомотетии точка  o  переходит в центр окружности девяти точек.

Пусть а₁, в₁,с₁ — средины сторон вс, ас и ав; a₂, b₂, c₂ — основы высот; a₃, b₃, c₃ — средины отрезков ah,bh,ch. поскольку  ∠aa₂b =90°, то ас₁ = с₁а₂, как радиусы круга, описанной вокруг ава₂. следовательно с₁а₂ = а₁в₁. кроме того, а₁а₂ || в₁с₁. поэтому с₁а₂а₁в₁ - равносторонняя трапеция и точка а₂ лежит на окружности, описанном вокруг треугольника a₁b₁c₁.рассмотрим теперь круг с диаметром а₁а₃. поскольку а₁в₃ || сс₂, a₃b₃ || ab, то  ∠a₃b₃a₁=90°, следовательно точка в₃ лежит на окружности. поэтому точка а₁ лежит на окружности, описанном вокруг треугольника а₃в₃с₃. аналогично доводим что точки b₁ и с₁, c₃,b₂,c₂лежат на окружности.  следовательно, все 9 отмеченых точек находятся на данном круге. поскольку при гомотетии   с центром н и коэффициентом 1/2 треугольник авс переходит в треугольник а₃в₃с₃, то и центр о круга, описанной вокруг треугольника авс, перейдёт в центр р круга, описанной вокруг треугольника а₃в₃с₃. поэтому р - средина отрезка он. что и требовалось доказать.

пусть у тебя куб abcda1b1c1d1 (у меня нижняя грань abcd)

рассмотрим треугольник d1db:

пусть а- ребро куба

рассмотрим тр adb:

ad=ab=a

угол dab=90гр, так как куб,

следовательно, по теореме пифагора

db=а* корень из 2

рассмотрим тр d1db:

угол d1db=90 гр, так как куб и плоскости граней перпендикулярны

dd1=a

db=a* корень из 2

d1b=6

по теореме пифагора

6 в квадрате=а в квадрате * (а *корень из 2)в квадрате

отсуда а=корень из 12

 

угол между прямо и плоскость это угол между прямой проэкцией это прямой на плоскость.

проэкцией прямой d1b на плоскость abcd будет db (если не знаешь почему, спроси, объясню)

значит нам нужен косину угла d1bd

косинус угра = отношению прилежащего катета к гипотенузе

косd1bd=db/bd1

косd1bd=а*корень из 2 /6=а* корень из(2/12)=а/корень из 6

ав=6

ас -наклонная

< асв=30

ас=ав/sin30=6/0,5=12

св²=ас²-ав²=144-36=108

св=6√3