..ДАЮ 80Б Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом а при основании и радиусом вписанной окружности г. Две бо ковые грани пирамиды, содержащие боковые стороны основания перпендикулярны плоскости основания, а третья - наклонена к ней под углом В. Найдите объём пирамиды.

Ответы

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом α при основании и радиусом вписанной окружности г. Две боковые грани пирамиды, содержащие боковые стороны основания, перпендикулярны плоскости основания, а третья - наклонена к ней под углом β. Найдите объём пирамиды.

Объяснение: V(пир.)=1/3*S(основания)*h , h- высота пирамиды.

1) Найдем S(основания)=S(ΔАВС)=1/2*АС*ВН=АН*ВН.

Из ΔАВН ,угол ∠АВН=90°-α. По свойству касательной ОР⊥АВ, ОР=r ,Тогда из ΔВРО-прямоугольного $\displaystyle BO=\frac{PO}{sin(90-\alpha )}$ или $\displaystyle BO=\frac{r}{cos \alpha }$ .

Высота ВН=ВО+ОН , $\displaystyle BH=r+\frac{r}{cos \alpha }=r*\frac{1+cos\alpha }{cos\alpha }$ .

Из ΔАОН ,найдем АН. Тк АО-биссектриса , то ∠ОАН=α/2 ⇒ $\displaystyle AH=\frac{r }{tg\frac{\alpha }{2} }$ .

S(ΔАВС)=АН*ВН= $\displaystyle \frac{r }{tg\frac{\alpha }{2} }*r*\frac{1+cos\alpha }{cos\alpha }=\frac{r^{2} *(1+cos\alpha )}{cos\alpha *tg\frac{\alpha }{2} }$ .

2) Т.к две боковые грани пирамиды, содержащие боковые стороны основания, перпендикулярны плоскости основания , то линия пересечения , отрезок МВ⊥(АВС)⇒ МВ-высота пирамиды..

Т.к ВН⊥АС , то и наклонная МН⊥АС по т. о трех перпендикулярах.Тогда углом между плоскостями (АВС) и ((АМС) будет линейный угол ∠ВНМ=β.

ΔМВН-прямоугольный , $\displaystyle tg\beta =\frac{BM}{BH}$ ,

$\displaystyle BM=BH* tg\beta =r*\frac{1+cos\alpha }{cos\alpha } *tg\beta$ , $\displaystyle BM=\frac{r*tg\beta *(1+cos\alpha) }{cos\alpha }$ .

3)Обьем $\displaystyle V= \frac{1}{3}* \frac{r^{2} *(1+cos\alpha )}{cos\alpha *tg\frac{\alpha }{2} } *\frac{r*tg\beta *(1+cos\alpha) }{cos\alpha }\\$ ,