В четырехугольнике ABCD BE=DF, AE||CF, ∠BAD+∠ADC=180°. Докажите, что ABCD – параллелограмм.

Объяснение:

Дано: ABCD.

BE=DF; AE║CF;

∠BAD+∠ADC=180°.

Доказать: ABCD – параллелограмм.

Доказательство:

1) Если при пересечении двух прямых третьей, сумма односторонних углов равна 180°, прямые параллельны.

∠BAD+∠ADC=180° (условие) - односторонние при АВ и СD и секущей АD.

⇒ АВ ║ СD

2) ∠1=∠2 - накрест лежащие при АЕ║СF и секущей ВD.

∠1=∠3; ∠2=∠4 - вертикальные.

⇒ ∠3=∠4.

3) Рассмотрим ΔАВЕ и ΔFCD.

BE=DF (условие)

∠3=∠4 (п.2)

∠АВЕ=∠FDC - накрест лежащие при АВ║СD и секущей BD.

⇒ ΔАВЕ = ΔFCD (по стороне и прилежащим к ней углам, 2 признак)

⇒АВ = CD (соответственные элементы)

Признак параллелограмма: если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны - это параллелограмм.

АВ ║ СD ; АВ = CD

⇒ ABCD – параллелограмм.

площадь ромба = 12 * 16 / 2 = 96 кв. см  сторона ромба по теореме пифагора корень((12/2)^2 + (16/2)^2) = 10 cм высота ромба = 96 / 10 = 9,6 см радиус вписанной коружности = 9,6/2 = 4,8 см расстояние от точки м до плоскости - это катет в треугольнике, где гипотенузой является расстояние до стороны ромба, а второй катет - это радиус вписанной окружности корень(8^2 - 4,8^2) = 6,4 см