Равнобедренный треугольник с боковой стороной 10 см и углом при вершине 120 градусов вращается вокруг оси, содержащей боковую сторону. найдите объём фигуры вращения.

Врезультате такого вращения получается конус с вырезанным конусом снизу, объем равен объем большого конуса минус объем конуса который вырезали снизу. если треугольник abc с вершиной b и стороной ab = 10, то угол a = 30 градусов. пусть он вращается вокруг стороны ab, тогда продолжим ее и отметим точку на основании конуса вращения как d (за точкой b). из δbcd bd = 10 * sin 30 = 10 * 1/2 ad = 10 + 10 *1 /2 dc = 10 * cos(30) = 10 * √3 / 2 объем большого конуса vb = 1/3 π r² h = 1/3 π dc² · ad =  1/3 π (10 * √3 / 2) ² (10 + 10 *1 /2) объем малого (радиус у них одинаковый) vm = 1/3 π r² h = 1/3 π dc² · bd = 1/3 π (10 * √3 / 2) ² (10 *1 /2) v = vb- vm = 1/3 π (10 * √3 / 2) ² · 10  = π 1000 / 4 = 250π

пусть sabc - прав. треуг. пирамида. проведем sd перп вс, so перп авс. ак перп sd. по условию ак = 3кор3, угол sdo = 60 гр.

  тогда из пр. треуг. akd: ad = ak/sin 60 = 6 - высота правильного треуг. авс.

  od = ad/3 = 2. тогда из треуг. sod высота боковой грани sd = 2/cos 60 = 4.

сторона основания равна: вс = ad/sin60 = 4кор3.

теперь площадь бок пов-ти пирамиды равна:

sбок = 3*(1/2)*вс*sd = 24кор3.

 

ответ: 24кор3