С. в правильной шестиугольной призме abcdefa1b1c1d1e1f1 длина стороны основания равна 3, а длина бокового ребра равна 4. найдите угол между прямыми ac1 и bd1.

Вправильной шестиугольной призме противоположные грани параллельны. в основаниях малые диагонали равны. внутренний угол правильного шестиугольника равен 120°. точки а, с₁, в и d₁ не лежат в одной плоскости, поэтому прямые ас₁ и bd₁ скрещивающиеся. ab║de и ab = de, значит авd₁e₁ параллелограмм, ⇒  ае₁║bd₁. тогда ∠e₁ac₁ = ∠(ае₁ ; ac₁) = ∠(bd₁ ; ac₁) = α - искомый. найдем малую диагональ шестиугольника из δавс по теореме косинусов: ас² = ав² + вс² - 2·ав·вс·cos120° ac² = 9 + 9 - 2·3·3·(-1/2) = 18 + 9 = 27 ас = 3√3,    ае = ас = 3√3. δаее₁: ∠аее₁ = 90°, по теореме пифагора                 ае₁ = √(ае² + ее₁²) = √(27 + 16) = √43 δасс₁ = δаее₁ по двум катетам, значит ас₁ = ае₁ = √43 с₁е₁ = ас = 3√3 (малая диагональ правильного шестиугольника) из δс₁ае₁ по теореме косинусов: с₁е₁² = ас₁² + ае₁² - 2·ас₁·ае₁·cosα cosα = (ас₁² + ае₁² - c₁e₁²) / (2·ac₁·ae₁) cosα = (43 + 43 - 27) / (2 · √43 · √43) = 59/86 α = arccos (59/86)

решение.

ab/a(1)b(1)=bc/b(1)c(1)=ac/a(1)c( єто всё дробью записать

ab/a(1)b(1)=32/24=1целая1/3(дробью)

в(1)с(1)=40/1целую1/3=30(см)

ас=12*1целую1/3=16(см)

величины смежных углов пропорциональны числам 5 и 7, следовательно первый угол равен 5х, а второй равен 7х.

т.к. сумма смежных углов равна 180 град, составим уравнение:

5х+7х=180

12х=180

х=180: 12

х=15(град)

5*15=75(град)-первый угол

7*15=95(град)-второй угол

 

95-75=20(град)-разность между углами