Диаметр шара равен высоте конуса, образующая которого составляет с плоскостью основания угол в 45 градусов. найти отношение объемов конуса и шара.

Конус авс, уголвас=45, треугольник аво прямоугольный, равнобедренный, уголаво=90-уголвас=90-45=45, ао=во, радиус=высоте, объем конуса=1/3*пи*радиус в квадрате*высота= 1/3пи*радиус в кубе, радиус шара=1/2радиус конуса, объем шара=4/3пи*радиус в кубе=4/3пи*(1/2)*(1/2)*(1/2)*радиу в кубе=1/6пи*радиус в кубе, объем конуса/объем шара=(1/3пи*радиус в кубе)/(1/6пи*радиус в кубе)=2/1

если ав=вс, значит этот треуг-к равнобедренный, а в равнобедренном треуг-ке высота, проведенная к основанию,является и биссектрисой, и медианой. sтреуг-ка=1/2 *а*h, где а-основание, h-высота, отсюда получаем:

а=sразделить на 1/2 h, а=60/(1/2 *12), а=10,то есть основание ас=10, а ан=5, поскольку вн -это и медиана. в общем получили,что в треуг-ке авн угол вна = 90 градусов, сторона ан=10, вн=12. ав-гипотенуза, а квадрат гипотенузы=сумме квадратов катетов, значит ав^2=5^2 + 12^2=25+144=169, значит ав= корень квадратный из 169, это будет 13.

ответ: ав=13.   

стороны правильного тетраэдра- правильные трегольники.

площадь правильного треугольника s(треуг)=(a^2*sqrt{3}) /4.

площадь поверхности правильного тетраэдра

s=4*(a^2*sqrt{3}) /4 = a^2*sqrt{3}.

  a^2*sqrt{3}) = 80

a^2=80/sqrt{3}

a=sqrt{80/sqrt{3}} (см)

 

ребро  второго тетраэдра а1=а/4

площадь полной поверхности второго тетраэдра равна

s1=(a/4)^2sqrt{3}=(a^2/16)sqrt{3}=(sqrt{80/sqrt{3}})^2 /16 *sqrt{3}=

  =80sqrt{3}/(16sqrt{3})=5 (см2)