постройте в координатной плоскости треугольник AMN. выразите вектор AN через векторы NM и AM, вектор MN ,через векторы BA и CA​

сумма углов треуголика = 180 гр.. найдем неизвестный угол с.

с=180-(30+60)=90 следовательно треугольник авс прямоугольный. проведем в нем биссектрису се. найдем угол е в треугольнике сеа :

е=180-(60+45)=75   (имеем, что угол с в этом треуголике = 45 гр. из определения биссектрисы)

рассмотрим треугольник сед. имеем: угол сде =90 градусов, так как сд - высота, угол сед = 75 градусов. найдем угол дсе:

угол дсе = 180- (90+75)=15 градусов

ответ: угол дсе = 15 гр.

медианы треугольника пересекаются и делятся в точке пересечения 2: 1, начиная от вершины, поэтому

no=2\3*ne=2\3*15=10 cм

op=1\3*mp=1\3*12=4 cм

по теореме пифагора

np=корень(no^2-op^2)=корень(10^2-4^2)=корень(84)=2*корень(21)

площадь треугольника npm равна 1\2*np*mp=1\2*12*2*корень(21)=

12*корень(21)

площадь треугольника npo равна 1\2*np*op=1\2*2*корень(21)*4=

=4*корень(21)

площадь треугольника  mon равна разнице площадей треугольников  npm и npo =12*корень(21)-4*корень(21)=8*корень(21)

площадь треугольника  mon равна 1\2*mo*2\3*me*sin (mon)

площадь треугольника  moe равна 1\2*mo*1\3*me*sin (moe)=

=1\2*mo*1\3*me*sin (moe)=1\2*площадь треугольника  mon=

1\2*8*корень(21)=4*корень(21)

ответ: 4*корень(21)

пусть имеем ромб abcd, bk - высота на ad

рассмотрим прямоугольный треугольник abd

ak=kd=ad/2=ab/2, так как стороны ромба равны

cos(dab)=ak/ab=ab/2 : ab=1/2 => угол dab=60 градусов

угол abc = 180- угол bad = 180-60=120 градусов

итак,

      угол abc = углу adc =120 градусов

      угол bad = углу bcd = 60 градусов

одним из признаков того, что данный четырехугольник - параллелограмм, является то, что диагонали точкой пересечения делятся пополам. поскольку четырехугольник mbkd удовлетворяет данному условию, то он - параллелограмм.