12. Точки А(4; -1), В(2; -4), C(0; -1) являются вершинами параллелограмма ABCD.
а) Найдите координаты вершины D.
б) Докажите, что четырехугольник ABCD является ромбом.
в) Напишите уравнения прямых, на которых лежат диагонали
четырехугольника ABCD.

поскольку длины касательных. проведенных к окружности из одной точки, равны, то отрезки от вершин до других точек касания также равны 15 и 21 см. длину третьего отрезка х определяем из уравнения

15 + 21 + 15 + 21 + х + х = 2 * х + 72 = 100 ,  откуда х = 14 см.

итак, стороны треугольника равны:   15 + 21 = 36 см,  14 + 21 = 35 см    и

15 + 14 = 29 см.

ищем точку пересечения диагоналей, как середину отрезка ас за формулами координат середины отрезка через координаты концов отрезка

 

о: x=(-3+6)\2=1.5

y=(-1+(-1))\2=-1

o(1.5; -1)

 

ищем координаты точки d:

1.5=(-2+x)/2

3=-2+x

x=3+2

x=5

 

-1=(4+y)/2

-2=4+y

y=-2-4

y=-6

 

d(5; -6)

  р=(17+65+80)/2=162/2=81

по формуле герона:

s=√p(p-a)(p-b)(p-c)=√81*64*16=9*8*4=288cм2

наименьшая — высота, опущенная к наибольшей стороне, а наибольшая — высота, опущенная к наименьшей стороне.

hc=2s/c=288*2/80=7.2cм

 

∠с = ∠d = 45°, ⇒ abcd - равнобедренная трапеция. ad = bc = 9√2 проведем ак⊥cd и bн⊥cd. авнк - прямоугольник (ак = вн как расстояния между параллельными прямыми, ак║вн как перпендикуляры к одной прямой), ⇒ нк = ав = 6 δвнс: ∠внс = 90°, ∠всн = 45°, ⇒ ∠свн = 45°, значит вн = нс по теореме пифагора вн² + нс² = вс² 2вн² = 162 вн² = 81 вн = 9 нс = вн = 9 δdaк = δcbн по гипотенузе и острому углу, значит dк = нc = 9 cd = dк + kн + нc = 9 + 6 + 9 = 24 sabcd = (ab + cd)/2 · bн sabcd = (6 +24)/2 · 9 = 15 · 9 = 135