Довести, що чотирикутник ABCD з вершинами в точках A(−1;5;3), B(−3;7;−5),C(3;1;−5), D(5;−1;3) є ромбом.

проведём в трапеции отрезки, соединяющие середины сторон. получим  четырёхугольник - параллелограмм. стороны четырёхугольника параллельны диагоналям, значит этот четырёхугольник ромб, т.к. диагонали в равнобокой трапеции равны, но они ещё и препендикулярны, значит у ромба есть рямой угол. т.е. это квадрат диагонали квадрата равны. и равны высоте трапеции. одна из диагоналей - средняя линия. а она равна высоте=16 см. площадь трапеции равна  произведению средней линии на высоту 16*16=256 кв.см

треугольник авс, ав=вс=32, ас=16. к, т, м - точки касания вписанной окружности (о) соответственно на сторонах ав, вс и ас.

ка=ам=мс=ст=16: 2=8

вк=вт=32-8=24

кт//ас (по теореме фалеса) => треугольник авс подобен треугольнику квт (угол в - общий, угол вкт = углу а, угол втк = равен углу с как соответственные)

вт/кт = вс/ас

кт = вт*ас/вс = 24*16/32 = 12

х - меньший угол

4х - больший угол

х+4х=180 (смежные)

5х=180

х=36 (град) - меньший угол

36*4=144 (град) - больший угол

p=2(ав+вс)

пусть ав будет х, тогда вс будет х+8

получается

2(х+х+8)=64

2(2х+8)=64

4х+16=64

4х=64-16

4х=48

х=12

ав=12=сd

вс=20=ad

б) если один угол равен 38, то противолежащий угол будет равен 38

односторонний 180-38=142, противолежащий тоже 142