3. Найти площадь трапеции, если меньшее основание равно 8 см, большее основание на 4 см больше, а высота на 5 см больше верхнего основания.

Основанием правильной пирамиды служит правильный многоугольник, все ее  грани - равнобедренные треугольники.если плоский угол при вершине пирамиды равен 60, то и углы при основании грани также равны 60.следовательно, грани - равносторонние треугольники, и  все боковые ребра равны стороне основания, т.е. равны 5 см

пусть  abcd - данный квадрат

центральный угол квадрата равен 360\4=90

поэтому при повороте на 270 градусов вокруг центра (точки пересечения диагоналей)

точка a перейдет в точку d

точка b перейдет в точку a

точка c перейдет в точку b

точка d перейдет в точку c

то есть квадрат перейдет в самого себя, доказано.

 

пусть имеем ромб abcd, т.o - точка пересечения диагоналей, ko- перпендикуляр плоскости ромба

рассмотрим прямоугольный треугольник aod.

  ad=46

3*od=4ao

пусть x - коэффициент пропорциональности,тогда

  ac=4x

od=3x

(ao)^2+(od)^2=(ad)^2

(4x)^2+(3x)^2=(45)^2

  16x^2+9x^2=2025

  25x^2=2025

x^2=81

x=9

то есть

ao=4*9=36

od=3*9=27

 

из треугольника okd:

      (kd)^2=(od)^2+(ok)^2

      (kd)^2=729+1296=2025

        kd=45

 

из треугольника oka

      (ak)^2=(ao)^2+(ko)^2

        (ak)^2=1296+1296=2596

        ak=36*sqrt(2)

то есть

      kd=kb=45

      ka=kc=36*sqrt(2)

пусть abcd  — произвольный выпуклый четырехугольник, k, l, m и n  — середины сторон ab, bc, cd и ad соответственно. так как kl  — средняя линия треугольника abc, то прямая kl параллельна прямой ac и    аналогично, прямая mn параллельна прямой ac и    следовательно, klmn  — параллелограмм. рассмотрим треугольник kbl. его площадь равна четверти площади треугольника abc. площадь треугольника mdn также равна четверти площади треугольника acd. следовательно, 

аналогично, 

это значит, что 

откуда вытекает, что