Точки А і В розміщені по один бік прямої іі на однаковій відстані від неї (рис. 3). Знайдіть довжину відрізка АК, якщо
PB = 8 см.

по теореме синусов  de\sin c=cd\sin e,откуда

de\cd=sin c\sin e

sin 60\sin e=2.5

sin e=sin 60\2.5=корень(3)\2: 2.5=корень(3)\5

cos e=корень(1-sin^2 e)=корень(1-3\25)=корень(22)\5

или

[cos e=-корень(1-sin^2 e)=-корень(22)\5

e=arc cos (-корень(22)\5)=приблизительно 160 градусов больше 120(180-60=120- сумма двух других углов треугольника )

а значит отрицательное значение косинуса не подходит к

sin d=sin(180-e-c)=sin(e+c)=sine*cos с+sin c*cos e

cos 60=1\2

sin d=корень(3)\5*1\2+корень(22)\5*корень(3)\2=

=корень(3)\10+корень(22\3)\10=1\10*(корень(3)+корень(22\3))

ce/cd=sin d\sin e=1\10*(корень(3)+корень(22\3))\ (корень(3)\5)=

=1\2*(1+корень(22)\3)=1\6*(3+корень(22))=0.5+корень(22)\3

ответ: 0.5+корень(22)\3

поправка: внутри угла взята точка д.

треугольник авд = треугольнику асд (прямоугольные, по гипотенузе - общая - и острому углу )

значит, угол вад=дас, т.е. ад - биссектриса

1. просто: берёш формулу для равнобедренного треуголбника (r=s/p, где r - радиус вписанной окружности, а p - полу периметр). площать ищется за формулой герона (s=p*(p-a)*(p-b)*(p-c) всй после равно - под корнем). и другая формула (r=a*b*c/4*s где r - радиус описанной окружности).  2. если это трапеция, то a+d=b+c, где а и d - основания, а b и c - итак b=c, b+c=50. b=25=c. a+d=50.  h трапеции = 2r = 24. получается две высоты и два прямоугольных треугольника. за формулой пифагора 24*24+х*х=25*25. 576+х*х=625. х*х=49. х=7. тогда получается, что 2a+14=50. 50-14=36. 36/2=18. a=18, d=32.  ищем площадь a*h+((h*x)/2). 18*24+((24*7/2). 432+168/2=516 s=516.

или 

1. полупериметр треугольника  р = (18 + 2*15) / 2 = 24 см  площадь по формуле герона  s = корень (24*(24-18)*(24-15)*(24-15)) = 108 кв.см  площадь через радиус вписанной окружности  s = p*r, откуда  r = s/p = 108/24 = 4,5 см  площадь через радиус описанной окружности  s = a*b*c / 4*r, откуда  r = a*b*c / 4*s = 18*15*15 / 4*108 = 9,375 см  2. рисуем трапецию авсд. так как в трапецию вписана окружность, то сумма оснований равна сумме боковых сторон  ав + сд = ад + вс = 100 / 2 = 50 см  ав = сд = 50 / 2 = 25 см  из точки с опускаем высоту ск на основание ад  ск = 2*радиус вписанной окружности = 2*12 = 24 см  площадь трапеции  s = ск * (ад + вс) / 2 = 24 * 50 / 2 = 600 кв.см  кд = корень(сд^2 - ск^2) = корень(25^2 - 24^2) = 7 см  вс = ((ад + вс) - 2*кд) / 2 = (50 - 2*7) / 2 = 18 см  ад = 50 - вс = 50 - 18 = 32 см

пусть авсд - трапеция. fe - средняя линия. проведем высоту вм на основание ад. из прям. тр-ка авм найдем высоту: вм = ав sin30 = 4*0,5 = 2.

площадь трапеции равна:

s = fe*bm = 5*2 = 10

ответ: 10