В верхнем основании прямого кругового цилиндра проведен диаметр AB, в нижнем - диаметр CD, который не параллелен AB. Точка H - проекция точки A на нижнее основание. а) Докажите, что 2AH^2 + AB^2 = AC^2 + AD^2
б) Найдите угол между плоскостями ABC и ABD, если AB = корень из 10 и AC=AD=3

пусть abcd –ромб, т.  о – точка пересечения диагоналей, а efkm –созданный четырехугольник. пусть диагонали ромба равны a и b соответственно, а сторона его равна с. тогда площадь ромба равна ab.

рассмотрим треугольники aob и efb – они подобные, из их подобия имеем, что

ab/ao=eb/es  (s – точка пересечения диагонали ромба со стороной четырехугольника)

c  : a/2 = c/2 : x

откуда

x=a/4, то есть es=a/4 и ef=a/2

аналогично анализируя подобные треугольники obc и sbf показываем, что fk=b/2

так как efkm-прямоугольник, то его площадь равна fk*ef, или

a/2*b/2=ab/4

так как ab=48 из условия , то ab/4=12, то есть площадь ekfm = 12

так как периметры подобных треугольников относятся как 2: 3, то их площади относятся как 2²: 3²=4: 9,всего имеем 13 долей(4+9=13), зная сумму площадей получим

s₁=260*4/13=80см²,

s₂=260*9/13=180см²

треуг. асд - прямоугольный,   сд=асsina=10*0.5=5 (см), угол асд=60град;

треуг. сде - прямоугольный, угол дсе=90-60=30 град, се=сдcosдсе=5*√3/2;

треуг. асе - прямоугольный, по теореме пифагора

ае=√(ас2+се2)=√(100+25*3/4)=√(475/4)=2,5√19