Дан прямоугольник со сторонами 3 и 4см, в точке пересечения диагоналей прямоугольника восстановлен перпендикуляр к плоскости прямоугольника, длина которого 7см. Найти расстояние от вершины перпендикуляра до вершин прямоугольника. с чертежом

кд=9 высота на пл. альфа

км=кд/sin30=9/0.5=18

kl=кд/sin45=9/(1/√2)=9√2

lm²=km²+kl²=324+162=486

lm=9√6

згідно з теоремою піфагора, довжина гіпотенузи

с = √ (a² + b²) = √ (5² + 12²) = √ 169 = 13 см.

площа трикутника може бути обчислена двома способами

s = a * b / 2  = c * h / 2 ,  звідки    a * b = c * h

h = a * b / c = 5 * 12 / 13 = 60 / 13 см.

в основании правильной четырехуг. призмы лежит квадрат. в1d=13см,  a1d=12см.

треуг. a1b1d-прямоуг. т.к. а1в1-перпендикуляр к плоскости aa1d1d, b1d-наклонная, a1d-проекция наклонной, тогда а1в1=√(169-144)=5см

сторона основания 5 см, а площадь двух оснований s=2*5*5=50см^2.

вычислим высоту аа1 из треуг a1ad. аа1=√(144-25)=√119см.

s(боковое)=√119*5*4=20√119см^2

s(полная)=50+20√119см^2=268cм^2

треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным (проверь по теореме пифагора), значит медиана проведена к гипотенузе. теперь, если описать вокруг прямоугольного треугольника окружность, то гипотенуза будет являться диаметром, а прямой угол будет лежать на этой окружности. так как гипотенуза - это диаметр, то радиус равен 5/2=2,5см. середина гипотенузы является центром описанной окружности. так как прямой угол лежит на этой окружности, то медиана также будет ее радиусом, т.е. медиана равна 2,5 см. и не нужны никакие вычисления.