АВСD-трапеция. Найти:X, Y, Z​

1. квадрат гипотенузы=сумме квадратов катетов. а-длинна гипотинузы (диагонали в прямоугольнике) а=корень квадратный от(60х60+91х91) а=109 см 2. 36-13х2=10 см сторона основания равнобедренного треугольника. медеанна(она же один из катетов) к основанию образует прямоугольный треугольник с гипотенузой равной 13 см и катетом 10см: 2 = 5см. квадрат гипотенузы=сумме квадратов катетов 13х13=5х5+аха, где а-длинна медины а= корень квадратный от(13х13-5х5) а=12 см 3.

s=πr²=πd²/4

s₅₀=π50²/4=π*625 площадь одной трубы

3* π*625=1875π площадь  трех труб d=50

1875π=πd²/4

d²=7500

d=50√3 диаметр новой трубы

решение: пусть аbcd – данный ромб, угол а=угол с=l.

площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами

s=ab^2 *sin a

s=a^2* sin l

полупериметр робма равен полусумме сторон ромба

p=4*a\2=2*a

площадь ромба равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности

s=p*r

откуда

r=s\p= a^2* sin l \ (2*a)=a\2* sin l

пусть   x, y – точки касания вписанной в ромб   окружности со сторонами ab и ad соответсвенно , пусть h – точка пересечения, прямой fg, перпендикулярной к   диагонали ас, вторая окружность касается сторон   ab и ad   и соприкасается с первой окружностью в точке h, значит вторая окружность – окружность вписанная в треугольник afg.

угол b=угол d=180 – угол а=180-l

диагональ ас ромба равна по теореме косинусов

ac^2=ab^2+bc^2-2*ab*bc*cos b=

=a^2+a^2-2*a*a*cos (180-l)=2*a^2* (1+cos l)

ac=корень(2*a^2* (1+cos l))=2*а*|cos l\2|=2*a*cos (l\2)

(воспользовались формулой понижения квадрата косинуса)

пусть о – центр вписанной в ромб окружности

диагонали ромба пересекаються и в точке пересечения делятся пополам, причем точка пересечения является центром вписанной в ромб окружности(свойство ромба)

значит ао=1\2*ас=1\2*2*a*cos (l\2)= a*cos (l\2)

далее ah=ao-oh= a*cos (l\2) -a\2* sin l=a*cos (l\2)*(1-sin(l\2))

af=ah\cos (a\2)= a*cos (l\2)*(1-sin(l\2)) \cos (l\2)=

= a*(1-sin(l\2))

fh=ah*tg (a\2)= a*cos (l\2)*(1-sin(l\2))*tg (l\2)= a*sin (l\2)*(1-sin(l\2))

fg=2*fh=2* a*sin (l\2)*(1-sin(l\2))

треугольники afh и agh равны как прямоугольные за катетом и острым углом(угол fah=угол gah – диагональ ромба есть его биссектриссой – свойство ромба, ah=ah,

прямая fg касательная к первой окружности, значит перпендикулярная к ас, отсюда углы fha и gha   прямые).

из равенства треугольников получаем af=ag

площадь треугольника равна произведению половины основания на висоту

площадь треугольника afh :

s (afg)=fh*ah= a*sin (l\2)*(1-sin(l\2))* a*cos (l\2)*(1-sin(l\2))=

1\2*a^2   *sin l *(1-sin(l\2))*^2

полупериметр треугольника равен

p (afg)= (af+fg+ag)\2=( a*(1-sin(l\2))+ a*(1-sin(l\2))+ 2* a*sin (l\2)*(1-sin(=

a*(1-sin(l\2))+ a*sin (l\2)*(1-sin(l\2))= a*(1-sin(l\2))*(1+sin(l\2))=

a*(1-sin^2 (l\2))=a*cos^2 (l\2)

радиус вписанной окружности в треугольник равен площадь\полуперимтер,

радиус равен   1\2*a^2   *sin l *(1-sin(l\2))*^2 \( a*cos^2 (l\2))=

=a*tg (l\2)*(1-sin(l\2))^2

ответ:   a*tg (l\2)*(1-sin(l\2))^2

s=(r+8)*12/2

s=12a2/(4*r)

a2=36 + (r+8)2

12*(36+(r+8)2)/(4*r)=12*(r+8)/2

r=10

s=(10+8)*12/2=108 cм2