O — точка перетину діагоналей ромба ABCD, кут А = 130°. Знайти кути трикутника ABD.

пусть имеем трапецию abcd

ab=cd=17

ad=44

ac=39

найдем площадь треугольника acd, для чего используем формулу герона

  s=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-

где p=(a+b+c)/2

в нашем случае

  a=17

  b=44

  c=39

    p=(17+44+39)/2= 50

тогда

  s=sqrt(50*(50-17)*(50-44)*(50-39))=sqrt(50*33*6*11)=sqrt(108900)=330

c другой стороны, если с вершины трапеции с опустить на ad перпендикуляр cк, то площадь треугольника acd равна ad*ck/2, то есть

    s=ad*ck/2 => 330=44*ck/2 => ck=660/44 => ck=15

из прямоугольного треугольника cdk по теореме пифагора, имеем

    (kd)^2=(cd)^2-(ck)^2 => (kd)^2=289-225 => (kd)^2=64 => kd=8

kd=am=8

bc=ad-(am+kd) = 44-(8+8)=28

далее находим площадь трапеции

    s=(ad+bc)*ck/2 = (44+28)*15/2=540

пусть abc - треугольник, ab = bc = 15 см

ac = 54 - 15 - 15 = 24 см

p = 27 см

по теореме герона находим, что sabc = 108 см

r = s\p = 4 см

площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию

s(abc)=1/2*ac*bn=1/2*34*24=408

площадь треугольника равна половине произведения стороны на медиану, проведенную к этой стороне, и на синус угла между ними

s(abc)=1/2*ac*bk*sin(akb)

sin(akb)=2*s(abc)/(ac*bk)=2*408\(34*25)=24/25

(по основному тригонометрическому тождеству)

cos(akb)=7/25 или cos(akb)=-7/25

тогда

одна из сторон равна по теореме косинусов

a^2=ak^2+bk^2-2*ak*bk*cos(akb)=

=17^2+25^2-2*17*25*7/25=676

a=корень(676)=26

а вторая

с^2=ak^2+bk^2-2*ak*bk*(-7/25)=

=17^2+25^2+2*17*25*7/25=1152

c=24*корень(2)

периметр равен a+c+ac=26+34+24*корень(2)=60+24*корень(2)

эти расстояния образуют прямой угол, т.к. отрезки опираются на диаметр! то есть получаем прямоугольный треугольник, гдк гипотенуза - это диаметр. по теореме пифагора находим гипотенузу: корень из 81+144 = корень из 225 = 15. значит радиус равен половине диаметра и равен 7,5.