В треугольнике ABC MN - средняя линия, M принадлежит AB, N принадлежит BC, O - точка пересечения медиан. 1. Найдите координаты вершин треугольника, если M(3;3,5),N(7;3,5),O(5;3)

Объяснение:

K = AO/ON =2.

x(O) =  (x(A) +2x(N) )/(1 +2) ; || x =(x₁ +k*x₂)/(1+k) ||

x(A) =3*x(O) -2x(N) =3*1 -2*0 =3.

y(A) =3*y(O) -2y(N) =3*(-2)  -2*(-1)  = - 4.

A( 3 ; - 4) .

K = AO/ON =2.

x(O) =  (x(A) +2x(N) )/(1 +2) ; || x =(x₁ +k*x₂)/(1+k) ||

x(A) =3*x(O) -2x(N) =3*1 -2*0 =3.

y(A) =3*y(O) -2y(N) =3*(-2)  -2*(-1)  = - 4.

A( 3 ; - 4) .

-------

x(M) = (x(A) +x(B))/2 ⇒ x(B) =2x(M) -x(A)  =2*2 -3 =  1.

y(M) = (y(A) +y(B))/2 ⇒ y(B) =2y(M) -y(A)  =2*(-1) -(-4) = 2.  

B(1 ; 2) .

аналогично :

x(N) = (x(B) +x(C))/2 ⇒ x(C) =2x(N) -x(B)  =2*0 -1 = - 1.

y(N) = (y(B) +y(C))/2 ⇒ y(C) =2y(N) -y(B)  =2*(-1) -2  = - 4.

C( -1; -4).

проверка задачи : x(O) =(x(A) +x(B) +x(C))/3 =(3 +1 -1)/3 =1.

y(O) =(y(A) +y(B) +y(C))/3 =(-4 +2 -4)/3 = -2.

продлеваем  основание ав и отмечаем произвольно на этом продолжении т. d. чертим биссектрису углаcbd (она делит угол пополам по определению).

решение: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны (по определению), поэтому угол сав = углу авс= 60 градусов. из этого следует: угол асв=60 градусов, т.к. сумма углов треугольника равна 180 градусов.

угол dвс смежный углу авс , значит 180 градусов (угол авd)   минус 60 градусов (угол авс) =120 градусов (угол cbd)

биссектриса вн угла свd  делит этот угол пополам 120: 2=60 градусов - значит биссектриса вн находится под углом 60 градусов к отрезку аd, т.е под тем же углом что и ас. значит ас и вн  параллельны между сосбой.

треугольник авс - прямоугольный (/в=180-2*45=90),

значит его гипотенуза ас является диаметром описанной окружности (вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается).

ас=2r=2*√8=2√8

треугольник авс - равнобедренный ,

ас^2=ab^2+bc^2=2ab^2=(2 √8)^2  (по теореме пифагора)

ab^2=4*8: 2=16

ab=4