Бісектриса кута при основі рівнобедренного трикутника дорівнює основі цього трикутника. Знайдіть кут при вершині цього трикутника.

радиус описанной окружности вокруг правильного треугольника определяется по формуле

r=a/кв.кор.(3),   где a - сторона треугольника

отсюда

a=r*  кв.кор.(3)=2*кв.кор.(3)

внешний угол  b больше внутреннего угла  a в 3 раза:   a = (360 - b)/3;

b = 360 - 3a;     угол    с = 360 - 3а - 40;     и сумма: a + b + c =180.

из системы а = 100 , b = 20 и с = 60 градусов.

пусть трапеция авсд сд перпендикулярна ад основания вс и ад диагональ ас вс=21 ад+36 диагональ   это биссектриса тогда углы вас= дас . но углы дас и вса накрест лежащие они равны , значит углы вас=дас=вса. тогда треугольник вас равнобедренный ва=вс=21 из точки в проведём перпендикуляр вк . это высота трапеции. ак=36-21=15. из треугольника авк вк*вк= ав*ав-ак*ак   вк*вк=441-225= 216. вк= 2 корня из 54 см. найдём полощадь (21+36)*2 корня из 54\2=57корней из 54 = 171 корней из 6 кв.см

решение: центр о описанной окружности лежит на медиане, проведенной к основанию треугольника.

медиана проведенная к основанию равнобедренного треугольника является его биссектрисой и высотой (свойство равнобедренного треугольника)   .

cредняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

поэтому ac=2*mn=2*корень (15).

пусть вк – медиана, проведенная к основанию ас, тогда

ак=ск=1\2*ас=

1\2* 2*корень (15)=корень(15).

1 случай) если центр о описанной окружности лежит внутри треугольника авс, тогда:

по теореме пифагора ok^2=oa^2-аk^2

ok^2=8^2-(корень(15))^2=49

ок=7

вк=ов+ок=8+7=15.

по теореме фалеса так как mn||ac, ак=ск, то мl=nl, где l– точка пересечения медианы вк и средней линии mn.

ml=nl=1\2*mn=1\2*корень (15).

по теореме фалеса так как mn||ac, ам=см, cn=bn, значит bl=kl

bl=kl=1\2*bk=1\2*15=7.5

lo=ob-bl

lo=8-7.5=0.5

mn||ac, вк перпендикулярна к ас, значит вк перпендикулярна к mn, значит треугольник lmo прямоугольный с прямым углом mlo.

по теореме пифагора:

om^2=lo^2+ml^2

om^2=0.5^2+(1\2*корень (15))^2=4

om=2

2 случай) если центр о описанной окружности лежит вне треугольника авс, тогда:

по теореме пифагора ok^2=oa^2-аk^2

ok^2=8^2-(корень(15))^2=49

ок=7

вк=ов-ок=8-7=1.

по теореме фалеса так как mn||ac, ак=ск, то мl=nl, где l– точка пересечения медианы вк и средней линии mn.

ml=nl=1\2*mn=1\2*корень (15).

по теореме фалеса так как mn||ac, ам=см, cn=bn, значит bl=kl

bl=kl=1\2*bk=1\2*1=0.5

lo=ob-bl

lo=8-0.5=7.5

mn||ac, вк перпендикулярна к ас, значит вк перпендикулярна к mn, значит треугольник lmo прямоугольный с прямым углом mlo.

по теореме пифагора:

om^2=lo^2+ml^2

om^2=7.5^2+(1\2*корень (15))^2=60

om=корень(60)=2*корень(15)

з.і. вроде так*