Ребро куба дорівнює а. Знайдіть площу перерізу куба площиною, яка проходить через вершину основи під кутом 60 до цієї основи та має спільну точку з кожним бічним ребром

r=a*sqrt(3)/3

a=3r/sqrt(3)=3*7/sqrt(3)=21/sqrt(3) - сторона треугольника

площадь правильного треугольника определяется по формуле

s=sqrt(3)*a^2/4

для нашего случая

s=sqrt(3)*21^2/(3*4)=147*sqrt(3)/4

угол равен

180*(10-2)/10=144 градуса

воспользуемся методом координат.

поставим центр ск в точку d и направим ось x по dc, а ось y по da.

система координат не является прямоугольной декартовой.

обозначим ab=a, bc =b , cd = c , ad =d.

имеем координаты точек:

d (0; 0)  a (0; d)  c (c; 0) , а координаты точки b мы не знаем. обозначим их как b*x и b*y, где b - длина отрезка bc.

имеем далее координаты точки q (0; d/2) - середина da и p ((c+b*x)/2; b*y/2) - середина bc.

середина отрезка pq - точка n по условию.

её координаты n ((c+b*x)/4; (d+b*y)/4)

далее находим координаты точки g - середина отрезка ac.

в этой точке медиана, выходящая из вершины b, пересекает сторону ac.

g (c/2; d/2)

известно, что точка пересечения медиан делит их в отношении 2: 1.

тогда координаты точки м равны

м = g+(b-g)/3 = ((b*x+c)/3; (b*y+d)/3)

откуда dm=l/3 , dn = l/4, где l=bx+c, by+d

s = пr^2

r - радиус описанной окружности. для прямоугольного тр-ка он равен половине гипотенузы, так как прямой угол вписанный в окружность всегда опирается на диаметр.

находим гипотенузу по теореме пифагора:

с = кор(9+16) = 5

r = 2,5

s = 6,25п