На стороне BC треугольника ABC отмечена точка M так, что ∆ABM ~ ∆ABC. Найдите AB, если BM = 4 и CM = 5.

треугольники aod и boc - подобные, так как углы boc и aod - равны как вертикальные, bc||ad - по условию и два остальных угла bco и oad, cbo и oda треугольников тоже равны, как лежащие между параллельными сторонами и получаем подобие треугольников за равными тремя углами.

площади подобных треугольников относятся как квадраты их линейных размеров, то есть

saod/sboc=(ad)^2/(bc)^2

32/8=100/(bc)^2

(bc)^2=8*100/32=25

bc=5

2х+х+3х=180

х=30 уголс

2х=60 угол а

3х=90 угол в

прямоуг. треуг. с катетами 9см и12 см

по теореме пифагора

9^2+12^2=d^2

81+144=225

d=15 см 

чтобы удобнее было решать, обозначим треуг-к как треуг-к авс (ас -основание). средняя линия- nh, биссектриса - вд. ищем среднюю линию nд, параллельную боковой стороне вс. средняя линия треуг-ка=половине той стороны, которой она параллельна, то есть,nh=1/2 ас, значит ас=2*16=32см, а искомая nд=1/2 вс.рассмотрим треуг-к вдс,он прямоуг-й, т.к.биссектриса в равнобедреном треуг-ке, проведенная к основанию, является и медианой, и высотой. в этом треуг-ке вдс  вд и дс-катеты, а вс - гипотенуза. по теореме пифагора вс^2=вд^2+дс ^2.

вд по условию =30 см., а дс=nh (как параллельные отрезки между двумя параллельными отрезками).кроме того дс=половине ас, т.к. вд-это и медиана. в общем дс=16 см. итак, вс^2=30^2+16^2=900+256=1156, вс=корень квадратный из 1156, это будет 34 см. nд=1/2вс (средняя линия треуг-ка=половине той стороны, которой она параллельна),

nд=1/2 *34=17 см.

ответ: средняя линия, параллельная боковой стороне, равна 17 см.