В кубе A...D1 докажите перпендикулярность прямых а)AD и A1B1 б)АС и B1C1 в)АC и DD1

пусть х - одна часть в пропорции. тогда:

2х+3х+4х = 180

х = 20

значит внутренние углы: 40, 60, 80 гр.

внешние углы: 140, 120, 100 гр.

они относятся:

14: 12: 10   = 7: 6: 5.

ответ:   7: 6: 5.

поскольку длины касательных, проведенных к окружности из одной точки равны, то стороны треугольника равны  13 * х, 13 * х и 10 * х, высота по теореме пифагора  h = √ ((13 * x)² - (10 * x / 2)²) = √ (144 * x²) = 12 * x, а

площадь s = 10 * x * 12 * x / 2 = 60 * x², а радиус вписанной окружности

r = 2 * s / (a + b + c) = 2 * 60 * x² / (13 * x + 13 * x + 10 * x) =

120 * x² / (36 * x) = 10 * x / 3 = 10 , откуда  х = 3, а длина основания

10 * 3 = 30 см.

высота, опущенная на основание, находится по теореме пифагора:

h^2 = 10^2  -  (16/2)^2 = 36,    h = 6

площадь равна:

s = 16*6/2 = 48 cm^2

найдем полупериметр:

р = (16+10+10)/2 = 18 см.

воспользуемся формулами площади через радиусы вписанной и описанной окружности:

s = pr,    r = s/p = 48/18 = 8/3 cm

s = abc/(4r),    r = abc/(4s) = 16*10*10/(4*48) = 25/3 cm

углы вас и cad по 30°, значит угол cda = 180 - 90 - 30 = 60°, поэтому трапеция равнобедренная и ab = cd.

треугольник авс - равнобедренный (2 угла по 30°), поэтому вс = ав.

катет, противолежащий углу 30°, вдвое меньше гипотенузы, поэтому

ad = 2 * ab.

если принять ав = х, то ad = 2 * x. получаем уравнение

х + х + х + 2 * х = 5 * х = 20 ,  откуда  х = 4.

следовательно  ad = 2 * 4 = 8 см.