Втрапеции авсd аd – большее основание, d = 60. биссектрисы углов с и d пересекаются в точке о, оd = а, вс = b, аd = с. найдите площадь трапеции.

сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180°.

∠bcd + ∠cda = 180°,  значит сумма их половинок равна 90°,

∠ocd + ∠odc = 90°, ⇒ ∠cod = 90°, ∠cdo = 30°.

проведем высоту сн.

δchd: ∠chd = 90°, ∠cdh = 60°, ⇒ ∠hcd = 30°

δchd = δdoc по гипотенузе и острому углу (cd - общая гипотенуза, ∠hcd = ∠cdo = 30°), ⇒

ch = do = a

sabcd = (b + c)/2 · a

дан тругольник авс в котором угол с=90 градусов. биссектриса угла а пересекает сторону св в точке n, а биссектриса угла в сторону ас в точке м.

точку пересечения биссектрис обозначим о.

сумма углов треугольника = 180 градусов. сумма острых углов = 90 градусов. сумма половин острых углов = 45 градусов. угол аов = 180 - 45 =

135 градусов. значит угол моа = nов = 180 - 135 = 45 градусов, что и требовалось доказать.

пусть δ abc – равнобедренный с основанием ab, и cd – медиана, проведенная к основанию. в треугольниках cad и cbd углы cad и cbd равны, как углы при основании равнобедренного треугольника (по теореме 4.3), стороны ac и bc равны по определению равнобедренного треугольника, стороны ad и bd равны, потому что d – середина отрезка ab. отсюда получаем, что δ acd = δ bcd. из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: acd = bcd, adc = bdc. из первого равенства следует, что cd – биссектриса. углы adc и bdc смежные, и в силу второго равенства они прямые, поэтому cd – высота треугольника. теорема доказана.