Ваня разрезал квадратный лист бумаги на два прямоугольника. их периметры оказались равны 80 см и 70 см. найдите площадь

рисунок с расставленными обозначениями отправил по почте (вложения так и не работают).

сначала нужно решить сам тр-к авс чтобы найти r- радиус вписанной в авс окр-ти. (о - т. пересечения биссектрис).

sinb = (4кор3)/7,  sina = (5кор3)/14, угол с = 60 град.

ав = 7,  вс = 5. подробности опускаю. все проделывается элементарно по т. синусов. ас = 8 - по условию.

s(abc) = (1/2)ас*вс*sin60 = 10кор3.

s(авс) = pr = (8+5+7)r/2 = 10r.

значит r = кор3.

угол с/2 = 30 град.

из тр.olc:   lc = r/tg30 = 3.    oc = 2r = 2кор3.    al = 8-3 = 5.

тр. opd подобен тр. ocep. угол pdo = epoc = a + (c/2) = a + 30

od = r/sin(a+30) = r/[sina*cos30 + cosa*sin30] = (14кор3)/13,

то есть sin(a+30) = 13/14

тогда ocd= 14(rc)/13. (rc) - радиус окр-ти с центром oc.

теперь гипотенуза большого тр-ка сfoc:

сoc = oc + od + ocd = 2кор3 + (14кор3)/13 + 14(rc)/13.

с другой стороны:

coc = (rc)/sin30 = 2(rc)

приравняв, найдем (rc):

(rc) = (10кор3)/3

тогда расстояние осо легко вычислить из прямоуг. трапеции ocolf, проведя высоту из т.о на основание ocf:

oco = ((rc) - r )/sin30 = (14кор3)/3

заметим, что fc = (rc) / tg30 = 10теперь аналогичные манипуляции проделаем с другой окружностью - оа.

там пригодится найти sin(a/2)  и  cos(a/2)(через косинус двойного угла а):

sin^2(a/2) = (1-cosa)/2.    sin(a/2) = (кор3)/кор28

cos(a/2) = 5/кор28

sinhqoa = sin(60 + (a/2)) = (3кор3)/кор28

теперь распишем составляющие гипотенузы аоа:

аоа = ао + ом + моа = 5/(cos(a/2))  +  r/(sin(a/2 +60)) + (ra)/(sin(a/2 +

с другой стороны:

аоа = (ra) / sin(a/2) = ((ra)кор28)/кор3.

приравняв и решив уравнение, получим:

(ra) = 2кор3

заметим, что ак = (ra)/tg(a/2) = 10

значит:

fk = 2+8+2 = 12.

завершающий шаг:

из прям. трапеции fkoaoc найдем оаос:

оaос^2 = 144 + (())^2 = 144 + 16/3

оаос = кор(448/3) = (8кор21)/3

ответ: оаос = (8кор21)/3; осо = (14кор3)/3.

из середины   ас(точка т) восстанови перпендикуляр до пересечения с срединным перпендикуляром из середины ав. получим точку о. ( тогда центр впис. окр-ти назови о1)

найдем радиус опис. окр-ти r:

r = abc/4s = 5*7*8/(4*10кор3) = 7/кор3

тогда в прямоугольной трапеции focot:

осf = rc = 10кор3)/3, ft = 4+2 = 6, от = кор(r^2 - 16) = кор3)/3

тогда:

осо = кор(36 + (rc-ot)^2) = кор(36 + (3кор3)^2) = кор(36 + 27)= кор63 = 3кор7

ответ: осо = 3кор7

первую сторону четырехугольника примем за х. тогда вторая сторона -

5 * х / 4 = 1,25 * x, третья сторона - 8 * х / 4 = 2 * х  и  четвертая -

2 * х / 4 = 0,5 * x.

периметр четырехугольника - это сумма его сторон, поэтому получаем уравнение   

х + 1,25 * х + 2 * х + 0,5 * х = 4,75 * х = 57 , откуда  х = 12

итак, одна сторона четырехугольника - 12 см, а остальные - 15, 24 и 6 см.

сначала найдем координаты точки а1, середины стороны вс. они равны полусуммам координат точек в и с, то есть

а1 = ( (-1 + 6)/2 ; (4 + (-2))/2 ) = ( 2,5 ; 1 )

тогда  аа1 = ( 2,5 - 5 ; 1 - 1 ) = ( -2,5 ; 0 )