На плоскости отмечено несколько точек, причем никакие три из них не лежат на одной прямой. через каждые две точки проведена прямая. сколько точек взято, если проведено 45 прямых.

ответ: 20 см

решение: смотри рисунок.

пусть треугольник bac равнобедренный, ab=ac=10 см.

возьмем произвольную точку k на основании bc и проведем km||ac иkn||ab

km=an, kn=am -противоположные стороны параллелограмма.

докажем, что km=bm. угол 2=углу 4 как соответственные углы при ac||km и секущей kc. но угол 4=углу 1 (углы при основании равнобедренного треугольника). отсюда угол 2=углу 1. значит треугольник bmk равнобедренный и km=bm как его боковые стороны.

аналогично докажем, что kn=nc. угол 3=углу 1 как соответственные углы при ab||kn и секущей kb. но угол 1=углу 4 (углы при основании равнобедренного треугольника). отсюда угол3 =углу 4. значит треугольник knc равнобедренный и kn=nc как его боковые стороны.

периметр параллелограмма =km+ma+an+nk=bm+ma+an+nc=ba+ac=10+10=20 (см)

1) треугольник авс и треугольник а1в1с1 равны

значит ва=в1а1и угол а=угол а1

прямоугольные треугольники dва и d1в1а1 равны за гипотенузой(ва=в1а1) и острым углом(угол а=угол а1)

из равности треугольников слдует равенство вd = в1d1, то есть требуемое

2) прямоугольные треугольники adk и cep равны за первым признаком равенства треугольников

угол k=угол р=90 градусов ак=рс,dk=ре по условию.

из равенства треугольников следует равенство углов

угол а=угол с, а за признаком равнобедрнного треугольника

треугольник авс равнобедренный и ав=вс, что и требовалось доказать.

треугольники abo, bco, cdo, dao равны по площади в силу фактов (диагонали паралелограмма делятся в точке пересечения пополам,

синусы смежных углов равны

площадь равна половине произведению сторон треугольника на синус угла между ними

соотвествующие вычислению площадей треугольников параметры равны, значит равны и сам площади)

так как площади равны, то площадь паралелограмма больше в 4 раза любого из этих треугольников,

поэтому площадь равна 7.5*4= 30 см^2

ответ: г) 30 см (в квадрате)

треугольник аод подобен треугольнику вос (угол адв = углу свд и угол сад = углу асд - как накрест лежащие при ад//вс и секущих вд и ас)

отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, значит к^2=32/8=4,   к=2   =>  

ад/вс=2,   вс=ад/2=10: 2=5 (см)