50 . в треугольнике abc проведены высота bd, медиана bm и биссектриса bk. известно, что угол dbk= углу kbm. докажите, что угол abc = 90 градусов.

1)

bk биссектриса, тогда abk=kbc или abd+dbk=cbm+kbm откуда abd=cbm=y и dbk=x по теореме штейнера получается

ad*am/(cm*cd) = (ab/bc)^2 но так как am=cm (медиана) ad/cd = (ab/bc)^2 (1) с одной стороны ad=ab*siny   и cd=bc*sin(2x+y) из прямоугольных треугольников abd и cbd соответственно.  

с другой ab/bc = cos(2x+y)/cosy   из треугольника abc подставляя в   (1) откуда siny/sin(2x+y) = cos(2x+y)/cosy   откуда sin2x*cos(2x+2y)=0, x< 180

откуда x=45-y  

значит abc=2x+2y = 2*(x+45-x) = 90 гр

2) способ второй

опишем около треугольника abc окружность,   пусть x,h,y точки пересечения bm,bk,bd с описанной окружностью.

тогда из условия следует ax=cy и ah=ch (опираются на равные углы) так же получаем что h середина дуги xy так как bk биссектриса, hm высота и биссектриса равнобедренного треугольника ahc и xy || ac (так как axyc) равнобедренная трапеция , значит byx=bda=90 гр, если f   точка пересечения   xy и mh тогда из подобия треугольников   xhm и xyb учитывая что xh=hy   откуда xm/bx=1/2 то есть bm=mx а так как   mx=my (треугольники amx и cmy равны) получаем bm=mx=my треугольник bmy   равнобедренный , откуда   bd=yd откуда m центра описанной окружности, значит ac диаметр   откуда abc=90 гр.

если основания трапеции равны a и b, то a+b=p-6=48-6=42

и средняя линия равна (a+b)/2=42/2=21

пусть abc - треугольник

ab = bc = 15см - боковые стороны

ac = 18см - основание

p = 24 см

проведем высоту,медиану,биссектрису bh

рассмотрим треугольник abh - прямоугольный

bh = 12 ( по теореме пифогора )

sabc = 1\2 bh ac = 108 см

r = s\p = 4.5см

r = abc\4s = 4050\432=9.375 см