Впрямоугольном треугольнике abc из вершины прямого угла проведена высота cd. найдите углы треугольника abc, если известно, что площадь dcb в 3 раза больше площади треугольника adc.

Пусть катеты равны  . тогда так как   cd высота то следует такие соотношения , высота среднее   между отрезками , так как соотношение площадей равны 3: 1, то стороны тоже так относятся!   тогда пусть одна сторона равна х, другая тогда 3х.  теперь по теореме косинусов найдем углы  значит   другой   гр  и того 90 60 30 

Раз площади  ∆adc и  ∆cdb  относятся как 1 : 3, то  отрезки ad и db тоже относятся как 1 : 3 ad/db = 1/3 ∆acd подобен  ∆cdb  (высота в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе делит треугольник на два подобных) < a = < dcb (сходственные углы подобных треугольников) обозначим св как х тогда tga = cd/ad = x/1 tgdcb = db/cd = 3/x раз углы равны, то tga = tgdcb x/1 = 3/x x^2 = 3 x =  √3tga = x/1 =  √3 < a = arctg(tga) = 60   ° < b = 180 - 90 - < a = 30 ° ну а < c у нас прямой по условию

треугольник mnk, вершины которого являются серединами   сторон треугольника авс, будет подобен этому треугольнику, его стороны   будут относится к сторонам теугольника авс как 1: 2, следовательно периметр также будет отсится как 1: 2, следовательно рериметр треугольника   мnk равен половине периметра треугольника авс

р=(8+10+12)/2=15 см - искомый периметр