Точка дотику кола, вписаного в прямокутний трикутник, ділить один із його катетів на відрізки 2 см і 8 см, рахуючи від вершини прямого кута. знайдіть сторони трикутника. ❤️

Центр вписанной окружности - это точка пересечения биссектрис. тангенс угла β (в синем треугольнике) tg( β) = 2/8 = 1/4 по формуле тангенса двойного угла tg(2 β) = 2*tg(β)/(1-tg²(β)) tg(2 β) = 2*1/4/(1-1/16) = 2*16/4/15 = 8/15 первый катет a = 2+8 = 10 см второй катет b/a = tg(2 β) b = a*tg(2 β) = 10*8/15 = 16/3 = 5 1/3 см гипотенуза с = √(a² + b²) = √(100 + 256/9) = 1/3*√(900 + 256) = 1/3*√1156 = 34/3 = 11 1/3 см

пусть сторона треугольника равна x, поскольку треугольник равносторонний, то

 

x^2-(x/2)^2=(12)^2

x^2-x^2/4=144

3x^2/4=144

x^2=192

x=8*sqrt(3) – сторона треугольника

равностороний треугольник, образованний средними линиями будет иметь стороны

равными 8*sqrt(3)/2=4*sqrt(3).  высота этого треугольника равна из теоремы пифагора

h^2= (4*sqrt(3))^2-(4*sqrt(3)/2)^2=48-12=36

h=6

 

s=a*h/2 = 4*sqrt(3)*6/2=12*sqrt(3)

 

 

по теореме пифагора х^2+x^2=144

2x^2=144

x^2=72

ответ: 72 кв.см