Высота треугольной пирамиды равна 40 см, а высота каждой боковой грани, проведенная из вершины пирамиды, равна 41 см. а) докажите, что высота пирамиды проходит через цент окружности, вписанной в ее основание. б)найдите площадь основания пирамиды, если его периметр равен 42 см.

а) пусть мо - высота пирамиды, мк, мн и мр - высоты боковых граней.

мк = мн = мр = 41 см по условию,

∠мок = ∠мон = ∠мор = 90°, так как мо высота пирамиды,

мо - общий катет для треугольников мок, мон и мор, значит эти треугольники равны по гипотенузе и катету, следовательно

ок = он = ор.

мк⊥ав, ок - проекция наклонной мк на плоскость авс, значит

ок⊥ав по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах.

мн⊥вс, он - проекция наклонной мн на плоскость авс, значит

он⊥вс по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах.

аналогично, ор⊥ас.

тогда ок, он и ор - расстояния от точки о до соответствующих сторон.

так как отрезки ок, он и ор равны, то точка о равноудалена от сторон треугольника авс, значит это центр вписанной в треугольник окружности.

б)

рассмотрим треугольник мок:

по теореме пифагора

ок = √(мк² - мо²) = √(41² - 40²) = √((41 - 40)(41 + 40)) =

= √(1 · 81) = 9 см - радиус окружности, вписанной в треугольник авс.

sabc = pr, где р - полупериметр δавс.

sabc = 42/2 · 9 = 21 · 9 = 189 см²

если ребро куба равно а, то его диагональ равна а*sqrt{3}.

по условию, a*sqrt{3}=7

                                      a=7/sqrt{3}

площадь поверхности куба s=6a^2=6(7/sqrt{3})^2= 6*49/3=2*49=98

x-y=40 |*2

2x+2y=360

2x-2y=80

2x+2y=360

4x=440

x=110°

110-y=40

-y=-70

y=70°

углы: 110°,110°,70°,70°