Доказать, что плоскость, проходящая через концы трех ребер куба, выходящих из одной его вершины, перпендикулярна диагонали куба, выходящей из той же вершины куба, и отсекает от него третью часть.

если взять куб abcda1b1c1d1, то фигура с вершинами a1bc1d - правильный тетраэдр. поэтому проекция точки с1 на плоскость a1bd - это центр правильного треугольника a1bd - пусть это точка q1. 

у пирамиды aa1bd основание a1bd - правильный треугольник, и все боковые ребра равны (это ребра куба). поэтому проекция точки a  на плоскость a1bd - это центр правильного треугольника a1bd - точка q1. поскольку есть только одна прямая, перпендикулярная плоскости a1bd и проходящая через заданную точку   q1 - центр треугольника a1bd, то ac1 перпендикулярно a1bd.

что и требовалось доказать.

если провести еще одну плоскость - b1d1c, то она тоже перпендикулярна ac1 (доказывается точно так же, пусть центр треугольника b1d1c - точка q2), то есть параллельна плоскости bda1.

поэтому эти две плоскости (поскольку они параллельны) отсекают на разных прямых пропорциональные отрезки. то есть aq1/q1q2 = am/mc (м - центр грани abcd) и q1q2/q2c1 = a1m1/m1c1 (м1 - центр грани a1b1c1d1).

поэтому плоскости a1bd и b1d1c делят ac1 на три равных отрезка.

что и требовалось доказать.  

v=4/3пr^{3}

v=(4/3пr^{3}) /( 4/3п((1/4)r^{3})^{2})=1/9(отношение луны к землепо v)

2дм4см+5м2дм7см+1м6см=6м5дм7см,

8м3дм-6м5дм7см=1м7дм3см