Длина ребра правильного тетраэдра авсд равна 1 см. найдите угол между прямыми дм и ск, где м- середина ребра вс , к- середина ребра ав.

прямой способ решения такой

пусть точка р - середина кв, то есть вр = кp = 1/4; тогда мр ii ck и мр = ск/2. из прямоугольного треугольника dkp с катетами dk =  √3/2 и кр = 1/4 находится dp (нужен только квадрат dp^2 = dk^2 + kp^2). в треугольнике dpm две другие стороны dm =  √3/2, мр =   √3/4; отсюда по теореме косинусов (x - косинус искомого угла dmp)

dk^2 + kp^2 = dm^2 + mp^2 - 2*dm*mp*x;

1/16 = 3/16 - 2*(√3/2)*(√3/4)*x;  

x = 1/6;  

ответ arccos(1/6);

есть такой интересный способ.

если взять куб abcda1b1c1d1, то фигура с вершинами a1bc1d - правильный тетраэдр. если обозначить м - центр грани куба abcd, к - центр грани bcc1b1, то прямые dk и a1m - и есть нужные прямые.

углы не зависят от масштаба, есть принять сторону куба за 1

и i j k - единичные вектора i = ab; j = ad; k = aa1;

то

вектор ma1 = -i/2 - j/2 + k;

вектор   dk = -i/2 + j + k/2;

их скалярное произведение равно 1/4 - 1/2 + 1/2 = 1/4,

а произведение модулей (у них модули равны) (1/2)^2 + 1^2 + (1/2)^2 = 6/4,

откуда косинус угла 1/6.

т.к. середина гипотенузы-центр описанной окружности, то гипотенуза= двум медианам,т.е. 15, тогда другой катет по пифагору =9 и s треуг.=12*9/2=54.

пусть   ф-угол между плоскостями треуг.-в, s1*cosф=s, cosф=s/s1=36/54=2/3, ф=arccos (2/3).

находим координаты векторов , вычитая из координат концевой точки соответствующие координаты начальной: вд=(-1,0) , са=(1,-1), вд-са ищем   как соответствующую линейную комбинацию координат вд и са (минус вносим в координаты са т.е. -са=(-1,1) и тогда достаточно сложить первое число с первым, второе совторым и получим (-2,1).