30 рівнобедреному трикутнику бісектриса кута при основі ділить бічну сторону на відрізки 8 см і 12 см, починаючи від вершини, яка протилежна основі.знайдіть радіус кола, вписаного в трикутник

Пусть авс - равнобедренный треугольник и ав=вс. в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны. значит ав=вс=20 см (8+12). биссектриса делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам (свойство биссектрисы). тогда ас/ав=12/8, отсюда ас=20*12/8=30 см. зная три стороны, по формулам радиуса вписанной окружности найдем этот радиус. 1. радиус равен:   r=√[(p-a)(p-b)(p-c)/p], где a,b,c - стороны треугольника, р - полупериметр.  в нашем случае р=(20+20+30)/2=35см r=√(15*15*5/35) =15/√7 или 15√7/7 см. 2. для равнобедренного треугольника r=(b/2)*√[(2a-b)/(2a+b)], где а - боковая сторона, b - основание. тогда  r=15√(10/70)=15/√7=15√7/7 см. ответ: r=15√7/7 см.

проведем радиусы ао и ов. 

угол амв - вписанный угол опирающийся на дугу ав, значит угол амв=1/2 градусной меры дуги ав, следовательно градусная мера дуги ав=2*30=60*. 

угол аов-центральный угол, опирающийся на дугу ав, значит его градусная мера равна градусной мере дуги ав, а значит угол аов=60*.

треугольник аов-равнобедренный (т.к. ао=ов-как радиусы одной окружности), следовательно угол оав = углу ова=(180-60): 2=60*, а следовательно треугольник аов является и равносторонним, значит ао=ов=ав=10см. 

ответ: ав=10см.