Медианы боковых сторон равнобедренного треугольника пересекаются под углом 60°. найдите угол при вершине треугольника.

поскольку в пересечении медиан образуется две пары вертикальных углов, каждая из которых может состоять из углов равных 60 градусам, то есть 2 решения, ответы в каждом из них будут разные. я опишу один вариант, второй решается аналогично

треугольник анс = треугольнику амс (по трем сторонам: ан=мс (ам и нс медианы, проведённые к боковым сторонам), ас общая сторона, нс=ам).

угол ном = углу аос = (180 -60*2)/2 = 120 градусов( вертикальные углы)

угол мас = углу нса = (180 -120)/2= 30 градусов (соответственные углы равных треугольников, а сумма углов треугольника ровна 180 градусов)

проведем среднюю линию нм.

треугольник нмо подобен треугольнику аос ( угол ном = углу аос (вертикальные углы), а угол нма = углу мас (соответственные углы))

найдем коэффициент подобия к (отношение соответственных сторон подобных треугольников)

к= нм/ас=2 (средняя линия в 2 раза меньше основания треугольника)

если к=2, то   ао/ом=2/1.

проведем в треугольнике нмо высоту от ,также она будет являться биссектрисой(нмо- равнобедренный), значит угол том = 120/2=60 градусов.

том = 1/ 2 но (напротив угла в 30 градусов лежит катет в 2 раза меньше гипотенузы)

треугольник ано подобен треугольнику том (то/но=1/ 2, ом/ао=1/2, угол том = углу ноа=  60 градусов)

нао= углу тмо = 30 градусов (в   подобных треугольниках  соответственные углы равные)

угол вса = углу вас = угол нао+ угол оас = 30+30=60 градусов

угол авс = 180-60*2=60 градусов

в каждом из пунктов действуешь по теореме пифагора, рассматривая треугольник аа1в, с прямым углом а1:

1) аа1^2+a1b^2=ab^2

16+a1b^2=25

a1b^2=9

a1b=3

2) aa1^2+ba1^2=ab^2

64+36=ab^2

ab^2=100

ab=10

3) aa1^2+a1b^2=ab^2

aa1^2+16=256

aa1^2=240

aa1=4 корня из 15

ам=смtga

вn=bcsina

bn/am=bcsina/(cmtga)=2cosa