Довести, що середини сторін ромба є вершинами прямокутника! !

Каждый из отрезков, соединяющих середины соседних сторон ромба, является средней линией в соответствующем треугольнике, образованном диагональю и двумя сторонами ромба. в образованном четырёхугольнике две стороны параллельны одной из диагоналей ромба, а две - другой, значит он - параллелограмм. углы между соответственно перпендикулярными прямыми равны. диагонали ромба перпендикулярны, значит стороны параллелограмма перпендикулярны, следовательно наш  четырёхугольник - прямоугольник.

правильный шестиугольник состоит из 6 равнесторонних треугольников,

рассмотрим один такой треугольник. в нм высота равна r, определим сторону этого треугольника, пусть она будет равна x, тогда по теореме пифагора

x^2+x^2/4=r^2   => 3x^2/4=r^2 => x^2=4r^2/3 => x=2r/sqrt(3)

 

тогда площадь треугольника = (1/2)*r*2r/sqrt(3)=r^2/sqrt(3)

 

а площадь многоугольника (правильного) = 6*r^2/sqrt(3)=r^2*sqrt(36)/sqrt(3)=r^2*sqrt(12)=2*sqrt(3)*r^2

что и надо было доказать