На сторонах ab, bc, ac треугольника abc отмечены точки d, e.f соот-но так, что угол bde= углу bac=34градуса, угла def=52 градуса. найти угол efc.

по условию  угол bde= углу bac=34 ⇒ соответственные углы при ac||de  секущая ab

отсюда угол def = углу efc = 52 гр как накрест лежащие при ad||de секущая ef

если две  прямые  de и ac пересекаются третьей ав и при этом соответственные углы равны  bde и bac = 34, то прямые de    и ac параллельны. эти параллельные прямые пересекаются отрезком ef и образуют углы def  и    efc, которые являются накрест лежащими. а накрест лежащие углы равны. следовательно, угол    efc равен углу    def равен 52 градуса.

у равнобедренного треугольника углы при основе равны. т.к. угол при вершине равен 80 градусов, а сумма всех углов треугольника равна 180 градусов, то угол при основе равен = (180-80)/2=100/2= 50 градусов. теперь рассмотрим образовавшийся прямоугольный треугольник. сумма острых углов в прямоугольном треугольнике =90градусов. один угол мы знаем, он=50градусов. тогда второй угол (он же искомый)=90-50=40 градусов

диагонали в ромбе являются биссектрисами   его углов , поэтому 2 угла по 40*2=80 град. т.к. ромб- параллелограмм , то сумма соседних углов 180 , и два оставшихся угла по 180-80=100 град.