Периметр равнобедренного треугольника равен 90 см, а высота, опущенная на основание, —15 см. найдите площадь треугольника.

пусть авс - равнобедренный треугольник, его  основание -  ас. 

вн = 15см - это  высота,  тогда ва  =  вс  -  боковые стороны.

пусть  ва  =  вс  =  х см. получается ас = 90-2х см.

высота вн равнобедренного треугольника  авс является медианой и биссектрисой. поэтому ан  =  нс  =  (90-2х)/2 = 45 - хсм.

по теореме пифагора в прямоугольном треугольнике  внc:

вс² = вн² + нс²

х² = 15² + (45 - х)²

х² = 225 + 2025 - 90х + х²

90х=2250

х=2250/90=25

ас = 90-2*25=40 см

s =  ½   вн·ас  =  ½·40·15 = 20·15  =  300 см²

наклонная, высота опущенная с точки a на плоскость и плоскость образуют прямоугольный треугольник   abc, где ab=6 и угол acb=30°

катет (высота) прямоугольного треугольника лежит противь угла 30°, то есть равен половине гипотенузы (наклонной), откуда наклонная равна 2*6=12

проецию находим по теореме пифагора

cb^2=(ac)^2-(ab)^2=144-36=108

cb=sqrt(108)=6*sqrt(3) - проекция

в основании призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами

а=6 см и b=8 см.

найдём гипотенузу с: с=sqrt{ a^2+b^2}=sqrt{6^2+8^2}=10(см)

по условию, наибольшая боковая грань-квадрат, следовательно высота призмы равна гипотенузе, т.е. h=10 см.

площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания p=a+b+c=6+8+10=24(см) на высоту призмы h.

s=ph=24*10=240(см кв)