способ 1
прилежащие к меньшему основанию углы равны 105°, значит, трапеция - равнобедренная, и вокруг нее можно описать окружность, как вокруг четырехугольника, сумма противоположных углов которого равна 180° (свойство).
пусть центр описанной окружности - о.
проведем через середины оснований высоту трапеции нк.
середина вс- н, середина аd - к, и точка пересечения диагоналей - м.
отрезок нк перпендикулярен основаниям, делит их пополам и проходит через центр окружности (свойство радиуса и хорды).
сумма внутренних односторонних углов при пересечении параллельных оснований трапеции секущей ав равна 180°.
углы трапеции при основании аd равны 180°-105°=75°
соединим вершины а и в трапеции с центром о окружности.
треугольник аов - равнобедренный со сторонами, равными r.
его углы при ав равны ∠ сва- ∠сво=105°-60°=45°.
следовательно, ∠ оак= ∠вак-∠ вао=75°- 45°=30°
в треугольнике вос с равными радиусу боковыми сторонами центральный угол вос опирается на ту же дугу, что вписанный угол вdс, поэтому вдвое больше его (свойство).
∠вос=30°•2=60°, отсюда и углы при вс=60°.
∆ вос - равносторонний, во=ос=вс=r=а.
высота этого треугольника он=а•sin 60°=(а√3)/2
в ∆ оак противолежащий углу 30° катет ок=ао: 2=а/2.
высота трапеции нк=но+ок=(а√3)/2+a/2=a•(√3+1): 2
площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований, т.е. на среднюю линию.
высота равнобедренной трапеции, диагонали которой пересекаются под прямым углом, равна её средней линии.
поэтому s=[a•(√3+1): 2]• [a•(√3+1): 2]=а²•(2+√3): 2 (ед. площади)
***********************
способ 2
поскольку углы при вс равны, трапеция авсd- равнобедренная, и углы при аd равны 180°-105°=75°
диагонали равнобедренной трапеции равны и при пересечении образуют с основаниями равнобедренные треугольники. по условию диагонали взаимно перпендикулярны, ⇒ ∆ вмс и ∆ amd - равнобедренные прямоугольные. углы в этих треугольниках при вс и ad равны 45°
площадь трапеции равна произведению высоты на среднюю линию.
высота h равнобедренной трапеции, чьи диагонали взаимно перпендикулярны, равна ее средней линии и равна сумме высот треугольников bmc и amd.
h=нм+мк. s=h²
нм=0,5•bс=а/2 ( по свойству медианы и высоты равнобедренного прямоугольного треугольника)
мc=вс•sin 45°= (a√2): 2
md=mc•tg60°=(a√2•√3): 2
мк=md•sin45º=[(a√2•√3): 2]•√2/2=a√3/2
h=a/2+a√3/2=a•(1+√3)/2
s=[a•(1+√3)/2]²=а²•(2+√3): 2 (ед. площади)
Популярные вопросы