Решить . в трапеции abcd меньшее основание bc равно a, прилежащие к этому основанию углы равны 105°, диагонали взаимно перпендикулярны. найдите площадь трапеции.

способ 1

прилежащие к меньшему основанию углы равны 105°, значит, трапеция - равнобедренная, и вокруг нее можно описать окружность, как вокруг четырехугольника, сумма противоположных углов которого равна 180° (свойство). 

пусть центр описанной окружности - о.  

проведем через середины оснований высоту трапеции нк. 

середина вс- н, середина аd - к, и точка пересечения диагоналей - м.  

отрезок нк перпендикулярен основаниям, делит их пополам и проходит через центр окружности (свойство радиуса и хорды). 

сумма внутренних  односторонних углов при пересечении параллельных оснований трапеции секущей ав равна 180°. 

углы трапеции при основании аd равны 180°-105°=75°

соединим вершины а и в трапеции с центром о окружности. 

треугольник аов - равнобедренный со сторонами, равными r.

его углы при ав равны ∠ сва- ∠сво=105°-60°=45°. 

следовательно,  ∠ оак= ∠вак-∠ вао=75°- 45°=30°

в треугольнике вос с равными радиусу боковыми сторонами центральный угол вос опирается на ту же дугу, что вписанный угол вdс, поэтому вдвое больше его (свойство). 

∠вос=30°•2=60°, отсюда и углы при вс=60°. 

∆ вос - равносторонний, во=ос=вс=r=а.

высота этого треугольника он=а•sin 60°=(а√3)/2

    в ∆ оак противолежащий углу 30° катет ок=ао: 2=а/2. 

высота трапеции нк=но+ок=(а√3)/2+a/2=a•(√3+1): 2

площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований, т.е. на  среднюю линию. 

  высота равнобедренной трапеции, диагонали которой  пересекаются под прямым углом, равна её средней линии. 

поэтому s=[a•(√3+1): 2]• [a•(√3+1): 2]=а²•(2+√3): 2 (ед. площади)

***********************

способ 2

поскольку углы при вс равны, трапеция авсd- равнобедренная, и углы при аd равны 180°-105°=75°

диагонали равнобедренной трапеции равны и при пересечении образуют с основаниями равнобедренные треугольники.  по условию диагонали  взаимно перпендикулярны,  ⇒  ∆ вмс и ∆ amd - равнобедренные прямоугольные. углы  в этих треугольниках при вс и ad равны 45°

площадь трапеции равна произведению высоты на среднюю линию. 

высота h равнобедренной трапеции, чьи диагонали взаимно перпендикулярны, равна ее средней линии и равна сумме высот треугольников  bmc и amd.

h=нм+мк. s=h² 

нм=0,5•bс=а/2 ( по свойству медианы и высоты равнобедренного  прямоугольного треугольника)

мc=вс•sin 45°= (a√2): 2

md=mc•tg60°=(a√2•√3): 2

мк=md•sin45º=[(a√2•√3): 2]•√2/2=a√3/2 

h=a/2+a√3/2=a•(1+√3)/2

s=[a•(1+√3)/2]²=а²•(2+√3): 2  (ед. площади)

угол альфа10 = 180 градусов (10-2) разделить на 10 = 144 градуса

треугольник равнобедренный, значит по свойству равноб. треугольника углы при основании равны.

а)обозначим угол противолежащий основанию через х, значит углы при основании соответственно равны 2х и 2х, сумма всех углов в треугольнике равна 180 град., составим ур-ие: х+2х+2х=180, решив его получаем, что х=36 град., значит углы при вершине 36град, а уголы при основании равны 36*2=72 град.

б)пусть угол при основании х град., тогда смежный с ним угол равен 3х, т.к. сумма смежных углов 180 град., то получаем х+3х=180, отсюда х=45 град., следовательно углы при основании по 45 град, а третий угол 90 град. (по теореме о сумме углов треугольника).