Впрямоугольном треугольнике гипотенуза равна 6, а площадь равна 9. найти радиус вписанной в этот треугольник окружности.

радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен разности суммы катетов и гипотенузы, делённой на два, т. е.r=(а+в-с): 2, где а и в - катеты, с - гипотенуза. полезно эту формулу запомнить, не раз еще пригодится.

чтобы ответить на вопрос , необходимо найти стороны треугольника, а для этого нужна его высота. 

s=h*c: 2

h=2s: c, где с - основание треугольника ( здесь - гипотенуза). 

18: 6=3 смвысота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой)найдем эти отрезки: 3²= x *(6-x) 9=6х-х²х²-6х+9=0решив это квадратное уравнение, найдем два одинаковых корня =3следовательно, отрезки, на которые высота делит гипотенузу, равны, и треугольник - равнобедренный.высота равна 3, половина гипотенузы=3. из прямоугольного треугольника с катетами 3 и 3 найдем боковую сторону ( катет исходного треугольника)х²=3²+3²=18х= √18=3√2катеты равны 3√2повторим: радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен разности суммы катетов и гипотенузы, делённой на два, т. е.r=(а+в-с): 2, где а и в - катеты, с - гипотенуза. r=(2*3√2-6): 2=(6√2-6): 2=6(√2-1): 2=3(√2-1)

пусть о -основание высоты   из точки м плоскость треуг.авс и к,т,   р основания высот   на   боковых гранях . т.к. мк=мт=мр , то и их прекции равны. это означает, что ок=от=ор и о -центр вписанной в авс окружности r. но r=s/p, где р- полупериметр авс и р=(13+14+15)/2=21.s находим по формуле герона s= корень из( 21-13)21(21-14)(21-15)=84. r=84: 21=4,тогда искомое расстояние по пифагору = корень из (25-16)=3.